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Full text of "De institutione arithmetica"

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Magi. A.6.22 




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6 

LSI 



Biblioreca Nizionale 
Centrale - Fircnze 



<j \Xl \Xt >Xc sXr. .^c v& vfe. vfe ifc & vfc ^ 

FRANCiSCI | 

^ CAESAR1S AVGVSTl jj 

^ M VN IF I CENTI A. j»* 

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3lritl?mettoi boetif 



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3Jnripiuntbuolib:ibe #ritbmeti/ 
ca anitij manilij feuerini j&oetij 
ri clariflimi z illuftriflimi e% cofulis : 
oibinarij :patrici> ;ab patricium fim 
macbum. 

Tl banbis accipi 
enbifquemuneri 
bus ita recce offt/ 
ciap:ecipue inter 
eos gfefemagni 
faciunt eftimant 
ft liquibo oftabit 
necab bocaliub 
qd liberating affen-etinuentii:nec 
ab illo vnqfc qd iucunbius beniuole 
tia coplecteret accepta.t>£ c ipfe co 
fiberans : attuli non iguaua opum 
pobera quibus ab fa :inus nibil in 
ftructius eft: cu babenbi fitis incan 
t>uit:ab meritu nibil viliits cu ea fi/ 
bi picto: anim* calcata fubiecit: feb 
ea qu£ ejr grecaru opuleuria littera 
rfi iit romanj ozationis tbefaurum 
lupta couejeim 9 .3ta enl mei quocg 
operis mfln ratio coftabit :fi que eje 
fapientif boctrinis elicui:1apientir 
fimi iubicio copzobent ♦ a toes igit 
vt tarn magni labous effectus tuuj 
tantu ejrpectet ejeame: nec in aures 
,pbire publicas uifi bocte fentecif a 
(Kpulatione nitaf.^fu quo i^W m j 
ruviberibebet:cuib opus qd fapie 
tie inuenta perfequif : non auctoiis 
f5 alieno iucubit arbitrio.Suis qp/ 
pe inftrumentis res rarionis ejtpen 
fcitur :cu iubicium cogtt fubire p:u^ 
t>encis.Seb \yulc munufculo:no ea 
fcem que ceteris imminent artibus 
inuuimentacoftituo /fleque eniro 



fere vlla fie cuctis abfoluta partib' 
nullius inbiga fuis tantu eft fcietia 
nijtra pfibijs:vt no cetera:? quocp ar 
tiu abiumenta befiberet. Tla in efK 
gianbis marmoze ftatuis :alius ejt/ 
ctbenbf molis laboz eftialia fozma 
&£ imaginis ratiomec eiufoe artif i / 
cis manus politi operis nitoi qepe/ 
ctat.#t picturf manibus tabule co 
miflf fabiozum.cfreruftica obfer/ 
uaiione becerpte:colomfuci mcrca 
toeu folertta perquifiti.lintea opero 
fis elaboiata tejctriuis:multipUcem 
materia pzj ftant.Tlone ibem quo/ 
quebello? vifitur iuftntmetis/tnc 
fpicula fagittisejcacuitalli valibus 
tbozaj: ijiigra gemit incube.#ft ali/ 
usiCTUbivmbonistegminajjpzy la 
boetozbi infigenbamercatur.tam 
multf artibus ars vna perf icif . JStfl 
noftrilaboiis abfolutio loge ab fa/ 
cilio:e currit euentU5 . Xneni folus 
mams; fup:emooperiimpones:in 
quo nibil be becernentiu neceflfe eft 
labozare cofenfu.Qualibet ini \)OC 
iubiciu multis artibus pzobet ejrcul 
tu vno tame cumulat examine. £ jc/ 
periareigitur licet quantu nobis in 
bocftubio longistractus ocijsla/ 
boz abiecerit.ilnrerufubtilium fu 
gas ejeercitate mentis velocitas co/ 
pbenbat. vtp ieiun^ macies ozatio 
nisabcaquefuntcaliganribus int 
pebita fententi^s erpebienbafuffia 
at.Qua in re mibi alieni quoquf itt 
bici) lucra queruut . £um tu vtrarii 
que peritifltmus littera?: poflis gra 
if ozationise>:pertibus quantum be 
nobis mbicare aubeant: Tola tantu 
pnunciationepzefcribere.atno al/ 



teritia obnojritta infttattis artitfima 
memet ipfe trallationia lege coftrin 
go:feb paululu Uberius eii agat*alie 
no itineri:no veftigijs infifto. Tla et 
ea qu£ be mtmerf a nicomacbo t)if 
fufius bifptttatafut:moberata bze/ 
uitatecollegt.£tqu£ tranfeurfave/ 
locius anguftioze intelligentif pfta 
bant abitu:mebiocri abiectione re/ 
ferauiivt aliquabo ab euibentiare/ 
ru noftris eria f ozmulis ac befcripti 
onibus rteremur.Quob nobis qua 
tie vigilijs ac fuboze coftiterit facile 
fobzius lectoz agnofcetXum igitur 
quatuozmatbefeoa bifciplinay be 
aritbmetica quf eft pzima perfcribe 
re: tu tantu biQnus eo munere ribe 
bareeoquemagt inerratoopua ee 
intelligeba. Has z fi apub te fatilia 
venif locua eflet:aliquanbo tamen 
ipfam fozmibabat facilitate fufpe^ 
eta fecuritaa. #rbitrabar eni5 
tantf reueretif pblarii iri opoztere: 
qd noelabozatu ingenio: perfectly 
ftubio:bignupoftrcrno tanto octo 
tiberef.Tlon igitur ainbigo quin p 
tua in me beniuolentia fupuacua re 
feces s \)\ antia fuppleae : errata rep/ 
benbas: comobe bicta mira animi 
alaCTitatefufcipias.Queres impiu 
lit ptgram cofttiji moza. ilimios eni 
mibi fr uct° placitura reftitucut.llo 
uiquippe:quatofhifciofiua noftra 
cfterozum bona biligamus .T%e / 
cte ergo quafi aureoa cereri culmos 
smaturoa bacbo palmitesrfic ab te 
rubimetanouioperia trafmifi.£u 
tantu paterna gratia nfm^uebas 
munua.ita z labozis mei pzimitiaa 
boctiflimo iubicio cofecrabta: z no 



maioze cenfebitur attctoz merito $ 
pzobatoz. 

3Jncipiut capttula libzi pzimu 

•£>zobemium in quo biuifiones ma 

tbematic^. jCapitulu. u 
£>c fubftantia numeri. /Cap. * ♦ 
kiffmitiozbiuifio numeri tbiffini 

tio paria z imparia. Cap* 3 ♦ 
fciffinitio numeri parts et imparia 

fedm pitbagozam. £ap.4. 
#lia fcd5 antigoze mobu biuifio pa 

risz imparia ♦ £ajM. 
fciffinitio paria z imparia peralte/ 

rutrum. £ap.tf. 
fcepziucipalitateY>nitat£. £ap.7* 
£)iuifio paria numeri £ap.$* 
fc>e numero pariter pari eiufque jp/ 

pzietatibua. £ap.9* 
fc>e numero pariter impari eiufque 

pzopzietatibua. <Cap. io # 
J>e numero iparif pari: eiufc^ppiie 

tatib°be que ei°ab pariter pare z 

parifiparecognatioe. £ap.n. 
fcefcriptiois ab imparit paria natu 

ra gtinetia ejepofitio. £ap. 1 1 . 
£>e numero impari eiufque biuifi/ 

one. £ap* ij; 

£>e pzimo z incopofito* £ap* 14. 
£>e fedo z copofito. £ap. 1 u 
J>e eo q g fe fcub^ copofit 0 : ab aliu 

pzim 9 t incopofit'efh jCap* 
fcc pmi z incopofitirr fedi z copofiti 

z ab fe quibem fecubi et copofiti 

ab alteru vero pzimi z incopofiti 

pzocreatione. £ap. \?. 

fce inue tione eo^ numerop qui at> 

fe fedi z copofiti funt:ab alios 

rclaripmi'ziucopofiti, £ap,iS. 



be 

1 

Da 
i 

c 



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Magi. A.6.22 



pono 

§ 



3Uiapartttio parte ftimtfectos ife 

fectos^vltra^gfectofXop. »9* 
£>e gnatioe numeri pfectiXap*i<\ 
£>e relata ab aligb qmitate > 
Defpeciebusmaiozis inf qualitat£ 

zminoiis. £ap.**. 
tee mulripltci eiufque fpecieb 9 earii/ 

que generation^ 0 . JCap. * ? . 
tee fugparttculari eiufque fpecieb* 

earuquegenerattoib\ £ap**4. 
fc>equoc>ivaU at) cognirione* Tug 

Bticularib'accibete* £ap.* s ♦ 
befcriptio e qua bocetur C£ terie in 

fqualitatis fpeciebus anriquicv 

rem efle multiplied £ap*i 
Tftatioatqueejtpofitio bigeftf fo:/ 

mulf* £ap.*r, 
tee tenia mcqlitatffpecie que Mcit 

fu£>partien*:beqHeeiu6 fpecieb* 

earuque gnationib 9 * £a£.i $• 
teemtUplicifuppartict'ari £ap,*9. 
fee eozum ejremplie in fuperiou fo: 

mula inueniebis, £a£.}o, 
tee mttiplici fugpartiete, £aj>. 3 1 . 
teemonltratioquemabmobu onv 

me mcqualitas ab jqualitatej?/ 

ceflerit. £ap,J 2 * 





TMoemium mquobiuifid 
matbemattcf* £apthj. §• 

titer 
omnef 

p:ifc£ 
aucto/ 
ritatia 
viros : 
quipf 
tbago 
rabu/ 
cepuri 
ozeme 
t is rati 
one vi 

guerunt.oftaremanifeftueft b*u& 
quequ| t pbilofopbi? bifciplinis a& 
cumulu perfection euaberemifi cut 
talis p:u be tic nobilitas quobd qfi 
quabmuio veftigaf. 0uob recte fo 
lertia ihtuentia non latebit* £fteni 
fapietia rep quf ftmt fiiique fmuta/ 
bile fubftantia foztiunf: cop:ebefio 
veritatia.£fTeautiUabicimu0 qu$ 
necinteurionecrefcut:nec retractio 
neminuuntmecvariationibus per 
mutant ; feb in^na feme vi fu? fe 
naturffubfibijsnijca cuftobiunt. 
t)f c afit funt qualitates:quatitated 
fozme: magnitubinee : paruttatee: 
^qualitateedbabitubinesractua : bi 
fpofitioneejlocaitempoza^quicgb 
abunatu quobimobo cozpozibua 
inuenitur ♦ Quf ipfa quibej natura 
incozpozea funt tfmutabilisfubfta 
tff ratione vigentia rparucipatio/ 
ne vero co:po:is permutantur :z ta 
au variabilis rei in uertibilem inco 
ftantia tranfeut. 13£C igitur quonia 



III! 



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Magi. A.6.22 



ft bictfieft naturauitutabil£fubfta 
tia vimcfc foztita fun t :vere pzoptiecp 
efle bicunt . 1?ozu5 igitur ib eft que 
fut pzopzieiquccp fuo nomine eflen^ 
tifnominant fcientia fapientia.pfi 
tetur.£flentic autejgeminj partes 
funt:vna cor inua z fuis partib 9 iun : 
ctamec vllis finibus biftributu: vt e 
arboz.-lapis:? omnia mubi coi 
poza quj pzopzie magnitubines ap 
pellant .alia vero bifiuncta a fe z be 
terminata partibus r quafi acerua^ 
tim in vnu rcbacta conciliu xt grejc: 
populus :c\)Oi\te accruus : z quicgb 
quo? partes^ppzijs ejetremitatibus 
termiuanfo ab alterius fine bifcre/ 
t? funt. Vis pzopziu uomen eft mul 
titubo, fturfiis mftirobinis aliafut 
B fe vt tres vel quatuoz:vel tetrago/ 
nus:vel quitibet Humerus qui vt fit: 
nullo inbiget.#lia vero pfeipfa no 
conftanr.febab quibbasaiiubrefe 
runr.vt bttplu:vt bimibiu :vt fefqual 
teru:velfefquiterriu5 ctquicgb tale 
eft:q6 nifirelatufit ab aliub ipfum 
efle no poflu . iDagnitubinis vero 
alia funt manetia motucp carentia. 
alia vero ^ue mobili feme rotatio/ 
nevmunt:necvllistetnpozibus ac 
qniefcunt.l^ozu ergo illd multitubi 
nequjgfeeft.aritbmetica fpeculat 
integritas.3f lla* vero quf ab aligb 
muficimobulaminis teperamenta 
pemofcut.^mmobilis vero magni 
tubinis-.geometrica noticia pollicet 
XDobilis fcientia aftronomice bifci 
pline peritia venbicauit.0uib° qua 
luoz parrib* fi careatinquifitoz: ve' 
ru famcnire no poffit.ac fine bac qui 
Pi (pcotfatio ne verit mo :nulli rccte 



UK. 





fopienbum eft. £ft enf fapientto ef 
rumremm quaver? funt: cognitio 
z integra eompzebenfio. iQuob \)ic 
quifpernit:ibeftba6femita8 fapte 
ti£ ei benuncio no recte pbilofopb* 
bu. Siquibepbilofopbi^eft amo: 
fapientif : qua in bis fpernenbis an 
tecontempferit. 3fUub quoqueab/ 
benbum arbitroz quob cuncta vis 
mulrimbinisabvnopiogrefla ter/ 
minorab infinita pzogreflionis aug 
mentaconcrefcit ♦ magnitubo vero 
a finita incboans quantitate mobu 
in biuifione non recipit ^nfinitifli/ 
mas enim fui cozpozis fufcipit fectb 
once .Vane igitur nature inf initate 
inbeterminatamcp potentiamtpbi 
lofopbiafponterepttbiat. Tlibilent 
quob infinitum eft: vel fcientia po / 
teft colligi vel mente compzebenbi ♦ 
Seb biucfumpfitfibi ipfa ratio: in 
quibus pofTet inbagatricem verita- 
tis ejrercere folertiam.kelcgit enim 
be infinity multirubinis pluralitate 
finitf terminu quantitatis : et interv 
minabilis magnitubinis fectione re 
iecta: befinita fibi ab cognitionem 
fpatia bepopofcit ♦ £oftat igitttr gf< 
quis bee pzetermiferit:omne pbilo/ 
fopbicperbibifle boctrinam . 13 oc 
igiturillub quabzuuius eft quo bis 
vianbum fit qnibtts ejrcclletioz ani- 
mus a nobis cum pzocreatis fenfi/ 
bus ab intelligentif certioza perbu 
citur. Stmt enim quibam grabus: 
certfque pzogreffionu bimenfiones 
quious afcenbi pzogrebique poffit: 
vt animi illu oatlum: qui vt ait pla ' 
to multis oculis cozpozalibus falua 
ri conftituique fit btgnioz , quob eo 



fololumineveftigarivel infyici ve^ 
ritas queat* tounc inqua oculu$ be 
meifumozbatucpcozpozeis fenfib' 
bebiftiptinerarfujUluminct ♦ Ouj 
tgitur qcYfis pzima bifcenba eft:niit 
ea qu? pzincipium matrifque quob 
ammobo ab ccteras obtinet pom/ 
onemrbfceft aut aritbmetica. t>ec 
emcuncrispziozeftrnonmobo qd 
banc ille bui 9 mubane molis conbi 
to: be 0 pzima fug 1>abuit ratiocina/ 
tionis eremplar.z ab b^c cucta co 
ftituit qtifcuq:. fabzicante rationc g 
numeros afllgnati ozbini* inuene 
re concozbiam:feb bp^quocg pzioz 
aritbmeticabeclaranqd qtifcuncp 
natura pzioza funt:b|?fublati8:fi/ 
mul pofterioza toiltwt.Qft 1! pofte/ 
rioza pcrcant: nibil be ftam pziozis 
fubftantif permutat .vt animal pzP 
eft lyominc . Tlam fi tollas animal : 
ftatitn quoegbominis natura bele^ 
ta fit.Si bominc fuftulerie: animal 
no peribit . £t econtrario ca femper 
polterioza fuiu que feci- aiiub qoli 
bet inferunt.ca pzioza qugcu bicta 
funtuiibil fecu be pofteriozibtte tra 
bunt . vt in eobe quocp bomine.Tla 
fibominc bijrerisifimulquoq; ani/ 
mal nominabie. 3bem e cm bomo 
qd animal.Si animal bireris: non 
fpecie fimul bominis intulifti. Hon 
eft em ibem animal qd bomo/froc 
ibem in geometrica vel in aritbme/ 
tica vibetur incurrere.Si eni nume 
roe tollas: vnbe triangulu vel qua' 
bratu vel quicqb in geoinetrica ver 
fatVque omnia numerozu benomi 
natiua funt %x vero ft quabzatu tri 
angulucp fuftulcris :oi nmfcg geome 



trica confupta frt:tres t quatuozraU 
ozneguumerop nonperibuntvoca 
bula/Rurfum ciialiqua geometric 
ca fozma bi jcero :eft illi fimul nume^ 
rozu nome implicitu . jCu numeros 
bijcerononbuvlla fozma geometri 
canominauuiDufica vero qua pzi 
oz fit numerozu vis: bine majcimej> 
baripoteft: quob no mobo ilia: na- 
tura pzioza fuw que per fe conltant 
qua ilia qugabaliquib refcrunt:f* 
et ia$ ea ipfa mufica mobu! atio mu 
mero:pnominib 9 annotat. £tibem 
in baceuenirepoteftiqd in geome- 
trica pzebictueft. Cnateflferon enim 
z biapcte:? biapafon : ab antecebe 
tie nuinerinolb 9 nucupant. 3pfo?u 
quocBfonoy abtierfua fe^ppoztiorfa 
lis necfc altjrs uumeris imicnit. Qui 
eni fonue in byapafon fy mpbonia 
eft:ibem buplicC numeri, ppomone 
colligif.Qucbfatefl'croneft mobu 
latio:epitrita collacione componit . 
Ouabj-apente ff mpbonia vocant: 
bemiotia mebietate coniungit.Oui 
in numerC epogbous eft rib eft ton 9 
i mufica. £tnefingulapfeg laboz^ 
bui^operisfequetia qudto pziozfit 
aritbmetica fine vlla bubitatioe mo 
ftrabit.Spbcrica vero atc^ allrona 
mica tdto peebit: quato buj reliqtif 
Mfciplinf banc tertia natura pzece^ 
bunt*3n aftrouomica enim:circuli 
fpbcra:centrum: paralelique circuli 
mebiufque a^zs eft: quf omnia ge/ 
ometricebifciplinecurafunt.flua/ 
re eft etiam eje boc oftenbere fenio/ 
rem geometricj.vim quob omni9 
motus eft port quieteimet natura 
femper ftatio pzioz eft .*Dobiliuum 

i 4 



■•'_Vf. 




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vero aftonmniaummmobiliumge ipfius ejremplu cuncta iunjrinetrTeb 

ometrica boctrina eft: vel quob ar/ ejt: feipfo vibetur efle copofu*/p>oz/ 

monicismobulationib^notus ipfe roautnibilej: fimilibuscoponi vu 

celebzatur aftromm ; Quare con « t>cmr:\\ccex bis qug nulla rationts 

flat quoque mufice vim artrozu cur ppoitione iungunt:? a fe omm fub/ 

fits antiquitate £cebere:qui fupcra ftantia naturaque &ifcreta funt.£o 

rc namra arithmetic* bubiu no eft: ftat ergo quoniam conmnctue eft 

cu pziozibus qua ilia e an tiquioz vi numerus:neque eje fimilibus efle co 

beat.f>:oprfe tamen ipfa numero/ itmctu.neque e;c bis qug at) fe imxi/ 

ru natura:omnis aftroy curfus:om ce nulla rationeppozrionis Ijfrent^ 

nif<B aftronomica ratio coftituta i. £runt ergo numeros pzima qti£ co 

Sic mi oztas occafufque colugim 0 iungaut ab fubftantiam quibe qu£ 

fic tarbitates vclocitatefque erratiu conftent rfemgque permanent . Tie 

fiberum cuftobimus:ftc befectus z que ml c% non ejciftentib 9 effici quic 

multiplies lung variations agno qua poteft:? fut ipfa bifi imilia z po * 

fcimus • Ouare qiii pzioz vt claruit tentia coponenbi/frgc ant funt gb* 

aritbmetice vis cftibiuc bifputacio/ numerus conftat :par atque impar* 

nis fumamus ejeozbium. Qw biuina quaba potetia cu bifpa 

ria fint otrariaqueitame ejerna ge/ 

fcefubftanria numerL /Tap.*, nimra^fitmnf.'r in vnaedpofitione 



celique conuerfio.Qug cum ita fint tur prima biuifio eft.in imparem at 

cuquc omniu ftatus inumero? colli que parem. £t par quibe e :g pot in 

gatione fungat:eu quoque numeru gqualia buo biutoi vno mebio non 

necefle eft in ppzia femp fefe baben intercibete :impar to que nullus in 

te cqualiter fubftantia emanere:eu equaUa biixibit qd in mebio pbict* 

quecopofitu non e;c biuerfia.Quib vri>imcrcii>at. £t bec qbc buiufmo 

em numeri fubftantia oiungerec.cu bi biffinitio vulgaris eft z nota. 



IDniaqugcu' 
que a pmeua 
repnatura co 
ftructafutmu^ 
meroyvibent 
rationefozma 
ta.t)ocenifu 
itpzincipalein 
animocobito 



mo bulationeque iungunt. 





fee b iffinttione numeri et biuifione 
pariszimparis* £ap.$. 



ris ejcemplar.lDtncem quatuozele 
metozu mttitubo mutuata eft-.binc 
tempo w vices :binc moms aftrozu 



£>iff initio numcri paris t imparts 
fcdm pftbagoza. £ap,4« 




Xla aut fcdm pyta/ 
gozica bifciplinam 
talis e/fbarnume' 
ruseft gfub eabe$ 
bwifioe pot in ma/ 
jrima paruiflunacp 
biuibi:ma)rimafpa 
cio: paruiffima quantitate : fecun ✓ 
bumbuojnftopgeneru cotrarias 
paflioucs.^frnpar vo minimis eft: 
cui boc qutbe accibere non pot:fet) 
cui 9 in buas incquales fiimas na^ 
turalis eft fecrio. t>oc eft aut ejtem/ 
plarut ft quiflibet batus par nume 
rus biuibatunniaio: quii>e5 quatu 
abbiuifionis fpariapertinet no in 
ueniet quSbifcreta mcbietas.qua' 
titate \ ? o nutla mino: fir: qua in ge/ 
mina faaa partitio. vt ft par nume 
rus qui eft.S.biuibatur in.4.atque 
altos.4.nullaerit alia biUifto qu£ 
maiozes partes efficiat^ouo aut 
nulla erit alia biuifio qu? totuj mu 
mep minoze biuibat quatitate. 3f u 
btias em partes biuifioue nibil mi 
nus eft . £u em torn quia fuerit tru 
na biuifione parritustfpacii quibej 
fumaminuitfeb numerals biuifio / 
nis auget. 0uob aut bictucft fcdm 
buo? generucontrartas pafltones 
buiufmobi eft, iMf bocuimus enij 
quatitate ininfinitas pluralitates 
occrefcere:fpacia vero ib eft magni 
tubines in infinitifltmas minui par 
uitates :atque ibeo \)ic cotra euenit 
bee naque paris biuifio : fpacio eft 
majrima paruiflima quatitate. 




Sliafcdmantiqutozemobu? bfui/ 
fio parts % imparts. £ap.f ♦ 
£cubu antiquum 
re5 ro mobu alia 
e parts numeribe 
f initio. Tiarnu/ 
met^eft qui ibuo 
equalia:? in buoi 
\ qualia partition 
nem recipit:feb ut in neutra biuifio 
ne: vel imparitati paritas: uel pari/ 
tati imparitas mifceatunpzeter fo/ 
luparitatis pzincipcmbinariump 
inert qui inf quale no recipit fectio 
ne:pzoptereaquobe;t: buabus vni 
tatibus conftat % ejc pzima buozum 
quoblmoboparitatc.Oupb autej 
bico taleeft.Si en i$ ponat par nu/ 
merus : pot in buo equalia binibi ; 
ut bcnari 9 5iuit>if in quinos^oi/ 
ro aut z per inj qualia ut ibe$ bena 
rius fn.ht in . 7 .Seb b oc niobo ut 
CHjvna pars fuerit biuifionis par : 
alia quocg par inueniatur : et fi vna 
iinpar:reliquaabei 9 imparitate no 
bifcrepet .vt \ eobe numero qui eft 
benaritisXum enim biuifus eft in 
quinos :vel cuj in* 3 .z in .vtr^que 
in vtraquepoztioe partes impares 
cjtrtiterunt.Si aut ipfe vel alius mf 
merus par biuibatur in fqualtsmt 
oaonarius in.4.t in.4. z item j) in 
f quales vt ibem oaonarius in. * .t 
in . ? . in ilia quibe biuifioe vtrf que 
partes pares fact? funt: in bac vtr£ 
que impares ejctiterut.Tlecp vuqua 
fieri pot:vtai5 vna pars biuifionis 
parfuerit:aliaimpariueuiri queat 
at cumvnaimparfit: alia par pop 
fit intelligi,3fmpar v ; o numerus eft 



qui ab qullibct illam biuifioncj: g 
infqualla fcmper biuibitiut vtrafcp 
ftecies numerifemg oftenbat : nec 
vnqud altera fine altera fit: feb rna 
para paritatitimparitati alia bepiP 
tat.ut.?.fi biuibae in. 3 in.4.alte 
rapouiopanaltera inipar eft . £x 
boc ibc in cnaie imparibua mime 
ria inucnit . Tleque vnqua in impa 
risbiuifione p^ter feefle poflunt 
l)c gemtnf fpeciea qu$ naturaliter 
yimmuiKrifubftatiaque coponut. 

fciflfinitio parts z imparts per alter 
utrom. £ap-*- 
=^«jtlo&fibecetia5 
^Tgatterutraa fpe 
ciea befimenba 
funt:bicetimpa 
re numeric efle 
qui vnitate bifv 
fertaparitvelin 
_cremeto:velbe/ 
minutione. ^tc par numerua eftg 
vnitate biflfert ab impart vet incre/ 
memo vel beminutione.Si eni pa/ 
rivnubempferia vel vnu abieceria: 
impar eflf icifod fi impart ibem fece 
ri8:par continuojjereatur* 

feepuncipalitate vnitatia .£ap.5\ 



XDniaquocp 
numerua cuv 
cu fepofitozu 
x naturali fi/ 
bimet bifpoff 
tionciunctop 
mebietaa eft. 
£tquifugbti 





08 illoa lut g mebio iungunt fi com 
ponant: ctias ipfop fupiabictua nts 
merua mebia ponio eft.t rurfus iy 
lop qui funt fuper fecunbo loco iu/ 
ctoacujipfiquoquefint compofiti 
pztoz bisrtumeroa mebietatis lo/ 
co eft:tfjocerit vfque buj occurred 
vnitafrtcrminuj fecerit.at fi ponat 
qniaquinariu numeru a!trinfecus 
circa ipfit5 funt fup:a.4.mfcriua fep 
IMergoft iuctiftmt:faciut. io.quo 
ru. * .numer^mebietas eft. Qui aut 
circa ipofib eft circa. *.?.4.funt.?. 
fcilicet et.7.tbem fi iuncti fut eomm 
quinariuanumerua mebietaa eft* 
•fturfuaiftoyguialtrinfeata pofitt 
funtfiiuugant:etiabi quinari; mi' 
meri bupli ftmt .Ham fuper. * SMt 
2 .fug.7,funt .s /fri ergo fi iuncti lot 
faciunt. lo.quopquinarius rurfua 
mebietaa eft.t>oc ibe in omnib 9 nti 
meria euenit :vfque bum ab wfca' 
tia terminumgueniri queat . Sola 
enijtfnitaacircu febuoa terminos 
nonbabet:atqueibeoeiua qui eft 
pzope fe foliua eft mebietaa . Tlam 
ittjrta v num folua eft binartua n am 
raliter conft irut u a cuius vnitas me 
bia para eft .Quare conftat pzimuj 
elTe vnitatej cunctomm qui funt in 
narurali bifpofitionf nnmerozum 
team rite totiua quauiapzolijcf ge/ 
nitricem pluralitatia agnofci. 

fcitufio parte numeri, JCa^.S # 



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Magi. A.6.22 



1 




&ris4Ute$mtmeri 
fpeciesfunt.}.£ ft 
enimwtaquf tucit 
paritcr par: alia ve 
ro pariter impar. 
tertia imparl par 
£t contraria qui t 
fcemrlocaque oprincnria f uminita ' 
tuttiOcnt eflepariter par : z paritcr 
itnpar . XDcfcietas aut queba; que 
rtrojuque parricipat eft numcrus 
qui vocafimpariter par; 

feenumero paritcr pari eiufqtie 
p*op;ietatibus* JCap.9. 

Writer par nuc/ 
rus eft : qui pot I 
tHioparia Mui/ 
fcireiufquepars 
ialia&uo paria 
parrifque parsi 
alia into paria : 
vtboc totiensfi 
at ;vfqttc bum M 
u\fto partittm a£> inuifibile naturae 
liter pcrueniat ymtatem.ut.64 .nu 
merus babet me&ietate. 3 1 .tyc aut 
mebietatem * 1*. f>ic vero .8 . bunc 
qwocB quarernarius in £ qua partit 
qui binari) fcuplus eft . fe^ binari' 
rnitatio mei>ie< ate tuuitut. quf viti 
tas naturahter fingularis non rcci 
pit fecrionc .tome numero vfoet ac 
ci&ere vt quccuque etus fuerit pars 
cumnomiueipforocabuloque pa 
ritcr par inueniat : turn ctiam quart 
titate.Sei* ibeo mibivi&et bic nu ' 
merus paritcr par vocaf: qno& ci' 
omnes partes % nomine z quantv 




me pares paritcr inttemW, Cii\5 
tut z noie z qudtitate pares babeat 
partes bic numcr*poft bicem 0 . 130 
ru aut generatio talis c.Mb vno cni 
quofcucp in twplicyppoztionenota 
ucris:fg pares parit,pcreant . •pid 
bac aut generatione ut nafcant altt 
ipoffibileeft.l^ui'aut rei taleri&ef 
C oz&ine fcefcriptiois ejceplu.Sint/ 
quecucti&uplicesabrno. 1.1.4.$. 
i6.]i.6 4 . u$.if6.<; u.atquebinc 
fi fiat infinita .pgreflio.tales cuctoe 
imieniee.factique fut ab vno in &tt' 
plicipponione: z oes fut paritcr pa 
res. 3JUui> aut no minima ofit>era/ 
tione tngnu eft:qd cine ofs pars ab 
rnaptequacucp q intra i^mnume 
rueftbenofat:tataquefuma qulti/ 
tatis indut>it: quota ps eft alter nu 
mer*pari£ paris illi'g eu srinet qua 
titatf. 3ftaque fit utfibi partes ipff 
riifceatmt quota ps rna e : tantS ba 
beat^altera quatitate: z quota pars 
iftae:tantafpzio:efuma necefle fit 
mTtitu&inis inueniri. £tprimuftt (t 
pares fuerit frifpofitiocsmt twj me 
bi$ ptes fibi rrtbeaq?oft tfo cuf fug 
i£as fut fibi inuice couertanf :atque 
boc l&e fiat &onec rtercp termin*ejc 
tremitates incurrat.1>onat enl pa> 
rtfparisoz&oabrnovf<£. uS.boc 
mo. 1.2.4.$. 16.31.64. uS.cteafit 
fuma matfa.^fn 15 igit qrfipares t>i 
fpofttioesfut.Tnamebietas no pot 
iueniri.Sutigit &u|:i& eft.S.ct- 
q ofi&erabf fiit quea&mobuifefi/ 
bi rfibeat. tortus enf ftunme ii> eft 
izS.octauaparseft. »^fc]ctat>eci^ 
ma. 8. TRurfus fug lyae partes que 
funt:ipff fibi inuicemrefconbebut: 





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ib eft.}i,eM./fla$*? 2 ♦ qaarta e* 
e toti 9 fum? ,4. o trigefimafeciiba 
fturfua fug b*s partea.M.feciiba 
para eft .*.vero fejeagefimaquatv 
ta.£>onec ejctremitatea limitem fa/ 
ciantrquaa bubium noneft eabem 
refponfione gaubere.£ft enim om 
nia fumma femel. uS. wits vero 
centefimua vigefimua octauua. 
Si autem imparea terminoa pona 
mua it> eft fummaa: ibem cnim ter 
mmos quob fumas nomine: fci>m 
imparianatura potcftvna mebie 
taainueniri:atquewafibijpfa eft 
refponfura • Si enim ponat bic oz / 
t>o. i.i.4.** itf.?i.^4.rna eritfo/ 
la mebietaa ib eft-8 iJQMLS .fumme 
toti'gs eft octaua z fibitfi ab beno 
minationc quantitatequecouuer/ 
tit . £obeque mobo ficut fuperiua 
circa ipfuj qui funt terminitbonant 
fibimutua nominafedm pzopziaa 
quantitatea tocabulumque permit 
tantHanM.fetta&ecima para eft 
totiua fumme ♦ irf.vero quarta . £t 
rurfua fuper boa terminoa • j i ♦ fe/ 
cunba para eft totiua fummf . i .vc 
rotrigefima fecunba : i femel tota 
fumma.tf4.funt : fe^agefimaquar > 
ta vero vnitaa inuentt < t>oc igitur 
eft quob bictum eftromnea ePpar/ 
tea * nomine tquantitate pariter 
parea inueniri.T>oc quoque multa 
confiberatione: multaque conftan 
tia bfuinitatia perfectum eft: ut oz^ 
binatimbi(J)ofit? minora fuming 
in ljoc numero z fuper feipfaa coa^ 
ceroatg:fequetiminuavno femper 
jquent. Sienim vnum iungaa bia 
quifequunt buobua: fiunt. j .ib eft 



qui v>no mintta quaternario cabut. 
ex fi fuperiozib 9 abbaa .4. flmt;** 
qui ab octonario fequente folarni 
tate vincuntur.Seb 11 eofbem.8 .fu 
pzabictia abiunjeeria. if .Kent, qui 
par. itf. numeri ejeifteret quantita/ 
tfetiifl minoz vniitaf impebiret. t>oc 
autempzimaetiam numeri pzoge/ 
niea feruat atcg cuftobit. Tlamque 
twitaaque pzimaefttbuobua fubfe 
quentibuafolaeft wftate contra/ 
ctioz :vnbe nibil mirum eft : tottun 
fumme crementu pzopzio confenti 
re pzincipio.t>£c aut nobia cofibe/ 
ratio majrfme pzoberit in bis uumc 
ria cognofcenbia quoa fuperfluoa 
velimminutoaperfectofque mon/ 
ftrabimua . ^Uicenim coaceruata 
quantitaa partium:numeri totiua 
termino coparat . ^\\x&> quoque 
nulla poffnmuaobliuione trafmif 
tere : quob in boc numero[ refpon' 
bentibuafibiinuicejpartibua mul 
tiplicatiaimaioz ejetremitas eiufbes 
numeri fummaque conficit. £t pzi/ 
mum fi pares fuerint bifpofitionea 
mebij multiplicand :atque inbe qui 
fuper ipfoa funt :vfque ab fupzabi/ 
ctaa ejctremitatea. Sienim fuerint 
parea bifpofitionea rfedmnaturaj 
paria buoa in mebio terminoa co/ 
tinebunt rutinea bifpofitione nu/ 
merozum in quaejetremua tenni/ 
nua. 1 2 8 .finitur* 5 n b° c cn « n n| * / 
mero mebietatca fut ♦S.faet. 16 * q 
ifemultiplicat?:maiozia fumacre/ 
fcete pluralttate oficiet » Octiea eni 
i^.uelfebeciea.8 # fimrtiplicea. 
fuma ocrefcit.&tcp \)\ numeri g fug 
eofbe Cut ft multiplicent ibej f aciut 



Tlam .4.et. j i . in fe fi multiplices: 
fapeabicti facictejctremitate.4.eni 
trigies ct bis :vel quater. 3 1 . bucti : 
• 1 Samttcabili neceflfitate coplebut. 
3ttqueboc vfqueabejctremos ter/ 
minoscabit-.ibeft. ut. uS.Semel 
eniejctrem°termin , \ nS.eftXeties 
vigies atque octies vnitate multipli 
cata:ml>tl be pziozc quatitare muta 
bit.St aut impares fucrint bifpofi' 
tiones:vnus mebius termin 0 inue/ 
nit :atquc ipfe fibippzia multiplica^ 
tioiie refponbet . $n eo naque 02bi 
ne numero£: vbi qctrcmus termin* 
tf4.pluralitate conclubit rfola imtes 
nit vna mebietas;ib eft.S.Ouam II 
octies ib eft in femetipfam multipli 
ces. 4.ejrplicabit . Stque ibem re& 
bunt UXi qui fug \ymc mebietate fut 
utbububiquifuperbuas pofitifa 
ciebant . Tla$ quatcr* itf .tf4.funt:z 
febecies.4.ibe5 complent . *Rurfus 
bi8.32,factia.tf4.nonbifcebunt:T 
trigies bis buoreofbc cumulat: z fe 
mel.tf4.uelvnitasfe]tagies quater 
muitiplicata: eunbem numeru fine 
Vila varictate reftituent. 

fce numero parit impari eiufque 
p:op*ietatibus* £ap. 10. 



Writer aut inv 
par nu:ner*c3 
quiztpequibe 
paritatis natu 
rafubftantiam 
que foztitus e : 
fei) in contra ' 
ria biuifione : 
nature numc * 




ri pariter parte opponiF.fcocebitur 
naque qjlonge btcbiflfimilt ratio/ 
ne biuibatur . Ham quonia par eft 
in partes equates recipit fectionem 
panes vero eius mojtrinbiuifibilea 
atque infecabilee permanebunt: ut 
funt.tf. io. 14. iS.n^^isfimiles. 
XDojcenim bos numcros ft in ge/ 
mina fueris biuifione partitus: in / 
currie in imparemquem fecare nd 
po(fis.2lccibitaute$biB qfromnea 
partes contrariebenominatas ba 
bent rqj funt quantitates ipfarum 
partiumquebenominaut . Tlequc 
vnqua fieri poteft rut qi^libct para 
buius numerireiufbe generis beno 
miuationequatitateque fufcipiat * 
Semper enim fi benomi natio fue/ 
rit par:quantitas partis erit impar: 
etfifueritbenomiuatio impanqua 
titaseritpar rutin. 18/ecunbaeiue 
pars eft-.ib eft mebiaquob parita^ 
tis uomen eft .9. qu? impar eft qua 
titas. Xertia vero que impar eft be 
nominatio-.fejc .cui par pluralttas e 
'Rurfus fi couertas fejcta pars qu£ 
par eft benominatio : trcs funt: fob 
ternarius impar eft • £t nona pars 
quob impar evocabulu.*. qui par 
numcrus eft.^ttque ibe$ in alijs cu 
ctis qui (ut pariter impares inuenit 
Heque vnqua fieri potcftmt cuiufii 
bet partis : fit eiuf be generis nom e 
z numerua.f it aut bo? p:ocreatio 
numeroprfi ab vno bifponant qui - 
cuque buobus bifferut: ib eft omni 
bus imparibus natural! fequentia 
atque o:bine coftitutis . Haquebi 
fi per binariu numeru multiplicent 
omnes pariter impares :rite plura/ 



litt* bimeufaefficiet, Ibonat enim 
p*irnavnitas, 1 a poft bunc qui ab 
bocbuob°biffm:ibefttres :? poll 
bunc qui rurfus a fuperioze buob' 
ib eft. j.z boc i ifinitu:* fit buiufmo 

feiMfpoRtio. 11 • 

\7. 19/friergonaturaUtef fequen/ 

tee impares futrquos nullus in mc 

bio par numeru* biftinguit ., b<> 8 

per binariu numerum mulriplices: 

efficies boc roobo.bis vim i b eft . 2 . 

qui Diuibit quibero : fcb ei* partes 

inbiuifibiles reperiuntur ; propter 

infecabilisvnitatisnawra.y&is. 3. 

bis,5,bis,7.bis,9.bi8. n .z&ein/ 

cepsejequibus nafcuntbi* 2 ^ . 

14. iS.n.auosfi biuibae:vna5re 

cipiunt fectione: cetera repubiates: 

quob fecunba biuifio ab imparts 

mebietate partis ejcclubit ,t>is ant 

numeris ab fe inuicem quatcrnar \\ 

fola biltantia eft/tlaque inter buo 

% fejc numero8*4.fut. Rurfus inter 

10,? inter. 14^ inter, 14. 

i3,ibemquaternariusbifTeretia 

t acit.t>i nancgomnes quaternaria 

fcfe numcrolitate tranfeebunt. OA 

ibcircocontingit:quoniapumi qui 

pofiti funt ib elt eo;um funbamen/ 

ia:binario fe numero pjecebebant: 

quos quoniampcr binariu mnltu 

plicauimus:in quaternariu numep 

creuit ilia piogreflfio.&uo enim per 

bis multiplicati: quaternary faciiit 

fummam • *$simr in naturalts nu/ 

inert bifpofitione : pariter impares 

nuineri quinto loco a fe bilTant : fo/ 

lis:44e p:ecebunt. } . in inebio tran 

feuntes per binariu numcruin mul 

lOplicatis imparibuspzocreati, £6' 



trarie 0 efle bicunt bfifpecies nu / 
inerop : ib eft pariter par: tpariter 
impar.quob in numero pariter im/ 
pari fola biuifionerecipitmaio;e]C 
tremitas :in illo o folus mino: ter/ 
minus fectione folutus eft.z quob i 
fcuma pariter paris numeri: ab ef/ 
tremitatibus mcipienti : z rfque ab 
mebia pzogrebientiquob continet 
fub ejetremistermiuisibem eft illi 
quob continetur fub intra fe pofitia 
fummulis ♦ Clique boc ibem vfquc 
ab buas mebietates fueritventum 
in bifpofitionibus fcilicet paribus • 
Siautfuerint impares bifpofitio^ 
nes quob ab rna metrietate coficit 
boc ibej fub altrinfecus pofitis par 
tibus p:ocreatur,#tque boc vfque 
bum ab ejttremitates pioceflio fiat 
3fn ea enim bifpofitione que eft . * . 
4,8, i<Ubemrebbunt,2.|2. »*.mul 
tiplicati:quob.4-per octonariu nu/ 
meruj bucti.atroqueenimmobo 
3 i,ficnt. Ouob li impar fit o*bo ut 
eft,2.4.S.ibe fadentejrtremiquob 
mebteta8.23iseni5Afunt. io\qua 
tuozquaterfunt . itf.qui numeres 
aquaternario tnfebucto perficit ♦ 
3In numero f o pariter impart li fue 
rittnus in mebio terminusicircu fe 
polito? termtno? li in vnu rebigan 
tur mebietas eft. £t ibem eop q$ g 
fuper bos funt tenninos mebietas 
eft . 3ttque boc vfque ab eictremos 
omniu terminozu vt in eo ozbiue g 
eft pariter impariuj numerop.i.tf* 
lo.iunausbinarius cum benario 
1 1 . crtjlet. cuius fenari* mebietas 
iuuenit Bifo fuerint bue mebieta 
tes iuncteiipe vtreque jquales crut 




toper fe termini* tonftitm im eft in 
poco:bine^<? # 10. 14, 3functienij 
*.t* «4.m. 15. crefcunt tquosfena/ 
ruiacu$benario copulatus efficiet 
3ttqueboc in n timer 0(10: ibus ter/ 
minis initio fumpto amebi/s cue/ 
nit vfque buj oft ejrtrema veniaf . 

be numero impariter pari eiufque 
p:op:ietatibus. rap. 1 1 » 

XDpariterpar nu/ 
met^eftejevtrffque 
cofectus t mebieta 
tislocogeminaejc/ 
tremitate conclu&i 
tur.utquaabvtro/ 
que bifcrepetreabe 
ab alterutro cognatione iungatur. 
I3ic aut talis c qui biuibit in cquas 
partes . cuiufque pars in alias cq $ 
t>imt>\ pot : z etia* aliquabo partes 
pwtiubiuibumifcb no utvfqueab 
vnitatempzogrebiat fquabilisilla 
biftinctiomt funt.M.T.*S . t>i eni3 
poflimt in mebietates biuibi: zco/ 
ruj rurftts partes in alias mebieta^ 
ces fine aliqua bubitatione foluunt 
Sunt etiam quiba alij numeriquo 
ru partes alias recipiunt biuifionef 
feb ipla biuifio at> vnitatc vfque no 
gttenit . 3 gitur in eo quob plus q$ 
vna fufcipit fectione.babet fitttubi/ 
nem pariter paris :feb a pariter im/ 
pari fegregat.3f n eo jo quob vfque 
ab vnu lectio ilia non bucif rpariter 
impare no refutarfeb apariter pa' 
ribifiungitXontingitautbuic mi/ 
mero tvtraquf habere qu£ fugio/ 
res no babent:t vtraque quf iHi re/ 



apiurttoptfnere.£tbdbetqu»em 
quob v trique non babent:quob cu 
in vnofohwrnato terminus bmi/ 
beret; in alio vero folus minoz ter/ 
minus non biuiberefun bocneque 
folusmaio: terminus biuifionere 
cipit : neque minoi folus termin* a 
biuifione feiungit. Tlajt partes fol 
ttunf t vfque abvnitate* fectioilla 
nopuenit.febantevnitatem inue/ 
nimr terminus quern fecare no pof 
lis. Dptinet aut qufiUiquocgreci/ 
piunt: quob qu^ba partes eitfs re/ 
fponbent:benominantquefcdmge 
nus fuu ab pzopaa quantitate : ab 
fimilitubine5fcil5 pariter parts mt* 
meri.&lig: vero partes cotraria be/ 
nomination^ fumunt piopiic quait 
titatis ab pariter imparts fcilicj foz 
mam. 3fo.*4.enim numero par eft 
quatttas partis a pari numero be/ 
nominata.Tlamquarta fecuba 
vero. 1 2 . fejcta vcro.4. buoberima 
2 .que vocabula partiu a quantita/ 
tisparitateno bifcrepantXontra> 
ri£ vero benominanf cu tenia para 
octoioctaua o ♦ 3 .vigefima autem 
quarta. 1 .q benominatioes cupa^ 
res Ant inueniunt impares quantw 
tates.t cum lint pares fumme:funt 
impares benominatioes. Tlafcunt 
aut tales numeri ita utfubftantiaj 
naturaqnefuam in ipfaetiaj^pzia 
generatione befignetrej: porker pa 
ribus z pariter imparibus pzocrea / 
ti . t> writer eni$ impares amcti bit 
bumozbinatimpofitis imparibus 
nafcebantur . pariter vero pares eje 
buplici,pgrefltone . fcifponant igit 
omnesinojbinemnaturalitcr im* 



PTS-ltM^r^ri Ktibusc6rinrf:?qu 9 kefte.q6 
fi quaternary temamw:uelfi t>em J^SfcWrioaut queluppolita 
i<s.ttrnarf»« t&em rife aj> vlnmu . JLJSJ; P „ummw multiplicauit : 

mumiUnpUcatto^at.uelfi^ eo ft>emmuttiplicante quinariona 
apnmomcboaavfqiicmc^emu? «j ^ f jj^^conftitutifunt. 
trifcat.2ltqueitaquartueTomncf ™mg£ feptcnari"ccteroa 

SSKSS Sua^cioniepartcpafcd, 

pluj :fi tree quater multipticca. mU8 « 
fientmelfi.?. qttatuo? multiphcent 
lo.numerus ejccrefcet: ucl fi itcj.?. 
multiplicent.4.i 9 .fiucrefceratque 
tyjc rfqtte in fine. 'Rurftw fi.S .inul 

feriSzea Si^licca:a fiiperiozib-mul a* inciter pans oftentnt. 

tipUcenttuelfi fupertozeseofoesiiv 

fcriozes multiplicentrcuctos qui na 

tifucrint impariterpareeinueniea 

3 tcp bec eft abmirabilis \y\xii\e m 

meri forma . quo& cum fuerit ipfa 

trifpofitio befcriptioque pfpecta mi 

merop:at> latitutnnem pariter inv 

pariuia&longitubinem pariter pa 

riumnumero? ptopiietas inuenit. 

Sunt enimtmabus meDietatibus 

jquales imj ejrtremitatee ruelvna 

mebietate 6uf bupliccs octrcmita^ 




tiru&irtc :in longitubine a& paritfcr 
parte nororam pertiuentie ejrpoft' 
tio. jD$.'u- 

Itc befcriptionis 
tyre ratio eft. Si 
ablatitubine$re 
fpicias:vbicbuo 
rfi terminopvna 
_iiiebtetae:ipfofcB 
termmos mngas : bitploe eotf me/ 
dictate pzopzta regies vt.3tf.et. 
faciunt- f * . quo? mebietae eft . * $ • 
qui mebius eft inter eos termin*cd 
ftitutus. £ t rurfue. * S et- » 4. fi fun / 
, gas faciunt.40.quop.10- mcbietaf 
melius eop terminus inuenit . Mt 
to ubi buaf mebietates l?abet:vtrf 
que ejttremicates iunctf ivtrifcp me/ 
ietatib a £ quoles fittnt ut- 1 1 et. 3 * • 
\ cu$ iunjreris fiiit.4S.b0? fi mebieta 
tee fibimctapplicauerisibeft.io.<r 

lS.ibemcrir.atquein alia parte la- 
titubiuis eobes ozbine qui fiant nu 
meri notari fuut.Tlccp vlla in re ra/ 
tiovtriufq^atitubinis bifcrepabit; 
ibemque in eobe5 o:bine in ceteris 
numeriepnotabis s\)OCfc6mfoy 
mam pariter imports miineri fit: in 
quo baiKpp:ictate$efle fup:aiam 
feripcu eft/Rurfuj fi ab ISgioibinej 
refpiciae vbi buo termini vna5 ine / 
bietate babet quob fit c% multipli 
catieejftremitaiib^boc fitfimcbi* 
terminus fuf capiat pluralitatis au 
gmenta .Tlabuobecies 4 ; faciunt 
57^.£De&ius to eo? termin 0 ib eft 
24-ft multiplicet:cofOe rurfus- f 76. 
pcreabit,£t rurfus fi-M-w-^- wl' 



tiplicenf faduM j*4* &m m&P 
termin'to eft48.fi in femetipm t>u 
caf:i&em-x ?o4..pcreant.abi autcj 
termini buo twos mebietates icltt/ 
bunt:q6 fit multiplicatie ejttemita 
tib*: boc ibe rebbit in alterutra fu/ 
ma mebietatib*buctis,fcuobecies 
atim-^multiplicatie- 1 1 5*-P^ 
creantibuetfoeo? mebietates ibe 
24.ct.4S.fi in femetipfas multiple 
cent:eofoe$. 1 1 f2.reftiroet.2Uqu* 
boc c ab imitatione> cognationecg 
t. timer t pariter paris :a quo parttci 
patione tracta bf* ei recognofcit in 
generata,fp:ietas.£t in alio to la ' 
tere longitubinie : eabe ratio befcri 
ptiocp notara eft.Quare manifeftu 
eft bunc mimep er pztoiib'buobus 
efle pzocrcatu;quoniaeo:uj retinet 
pzopzietatee. 

t>c numero impari eiufque biui/ 
fione. -Cap. »?• 

iDparquocgnu 
merits eft: gapa 
ris numeri natu 
rafubftatiaegbif 
iunct?eft.Siqui' 
&c illc in gemma 
mebza cqua i>u 
_ uibi pot:bic ne 
fecari qucat vnitatis impebic inrav 
uetue. Zres babet fimilit f ub biui / 
fiones-qua? vna ci°pars eft is nu/ 
merus qui vocat pum*z incopofit* 
Sc6a^o quieftfecubus tcopofit^ 
ft tatia is qui quaba b^f mebic/ 
tate coiunctus eft : t ab vtriufcg co- 
gnatione aliquifc naturalit tral^it 9 
eftp fequibefecu&us t copofitus: 
feb ab alios comparative primus z 






incopofitusinnenif. 

fee piimo i incdpofito. Cap . »4- 

Xpzimusquibe 
t incopofitus eft 
g nulla alt! gtej 
Bab; nifi eaquf 
atotanueri qua 
titatebenomina 
tafit.vt ipapars 
no fit nifi vnitas 

utfitt'W*'* 1 »• 
ij.i 7* I9.i;«z9.3i«3fnl>i8j^fingti 
lis nulla vn$ alia go it utcnier : nil! 
que ab ipia benoiara eft: z _rpa tan/ 
tu vnicas uc fup*a iaftictu e^n trt/ 
bus em vna gs fola eft:ib eft tenia: 
q a trib°fc$ benot ata eftrr ipa tertia 
gs vnitas. £obecg mo quinary fo/ 
la quiitra gs eftrr b? e vnitas .atque 
ibe* in fingnlis cofequcs reperiet. 
feicitailt p:im*z inedpofit* gd nuk 
lus eu alter numerus metiat:p?et*r 
folaqufcunctis mater eft vnirate* 
Tlacpternariu-i-no numeric: ibcir 
co qm ft folos buos otra tree eopa 
res pauciozes funt • Sin o binar iu 
bis facias :amplioze trib* cocrefciti 
3 .£Detic aut numer^nue? : queries 
uel femel ufbis uel tertio uf quott - 
enf libet numer^ab numep sparat° 
necg beminuta fuma necp aucta ab 
coparati nueri terminuvfegguenit 
tti buo fi ab .tf.copares:binari 9 mp 
mer'fenariu tertio metief .psimos £ 
% mcopofttos null' numer* metiet: 
ptervnitatefola.qwejcnullis alijs 
nuerie copofiti fut fj tin eje vnitatib* 
in fenietipfe aiKtis mftiplicatifcg^/ 




acmtXct enf vn' . j . * an^ea ifrmjf 
gmp/r fepties vn'.7.fecerut, £t al!j 
gbc qupa tup befcripfim* eobe mo 
n afcun t . t>i aut in femetipfos multi 
plicati :faciut alios nueros velut pzi 
mi .eofcp piima re? fubftatia v im q* 
foztitos :cuctop a fc pcrcatop velut 
qbaelanetaregies. q: fc$ 1 iitcopo 
fiti lut:t fimplici gnationc fozmatt : 
meg i eos oes qcuq$ eje bis^plati fut 
nueri rcfoluuntapi^onecp ey alijs 
^pbucunf :necg t alia rebucun t * 
be feeubo t copofit o, iCap- • f • 
£cub*tfo?copo 
fit^-rt^egbcinv 
paref>pfea,q6ea 
be imparts ,jpue 
ratcfo:mat*e:f$ 
nulla in feretinet 
fKftitiapncipale 
copofttufq; c ejr alijs nuerC.babetCB 
gtes:z a feipo z ab alieno vocabulo 
benoiataf. feb a feipo benoiata gte 
fola fg i bis inuenks rnitate, ab ali 
cno $ o vocabulovi'vna:vrquotlib5 
alias rqudti fuertnt fc$ nttmeri gbus 
Ulecopofitis^creaf.wfutbi-9* if* 
i ui f .jr. j 9-t>op g finguli b«/ 
bctqbeafebenoiatas gtes^ias 
fcjvnitates.vt ^ nonaibeft- u if. 
qntabccima:eibe rurfus vuitate.t 
i cf teris quos fup befcripfim^ibe'eo 
ucnit. t>abet etia ab alieno vocabu 
lo gtej. vt-9-tertia: ib eft ternariu* z 
if -teraaiibe.f . agmi:ibcft^.i i 
^? o tertia:ib 1*7, fcptima- 3 -t f oibus 
ali;s eabc ofequetiae* Secub 0 mt 
vocat bic nuer 9 : qin no fola vnitate 
merit :f; etia alio nueroaquofcjco 
iuna°eft.11ccp bjf fequicqudpetn/ 

b 2. 




<ipa!ts inteUigentif .Tlam cjralijs 
mimeris pzda eat-Vquibem cjtr trt/ 
ba's-'iy- voejctribus ct.5-ct.11 
triburfet.7.* ceterieobemmobo. 
^cmp^ofit 9 atit bicit eo quob refol/ 
iHpoieft in eof&em ipfos a quibits 
bicit efle copofitus : in cos fcilicet q 
compofitus numey metitmt. ITiljil 
autquobbiflblui pot incopofitum 
eft:feb omni rep ncceflttatccompo 
fim. 

£>eeo quip fe fecubus r copofit* 
abaliupziin 9 tinc6pofit'cjCap. itf 

3fsvero con/ 
tra fc pofitis : 
ibeftpiimo ? 
incopofito : ct 
fecubotcopo 
liter nsturali 
biuerfitatebif 
iunctis:ali 9 M 
mebiocofibe/ 
rat. qui ipe quibej copofitus fit z fe 
cunbusrr alterius recipiens mefio/ 
ne:a{quelbeo ? partis alicni voca/ 
bull capajc : feb C115 fuerit ab aiium 
rinfbej generis numepcoparatus: 
miUa cu co cotnuni menfura coniu/ 
gitmecbabebut partes equiuocae 
ut fut 9-ab.i ? . nulla bos comunis 
? iiiifnerop menfura mctif : nift fozte 
Vukae qrt£ omniu numcrop mefu/ 
ra coimiriis eft . £t bi quibcm non 
^abentfquiuocas partes. Tlaquf 
in. 9 • tertta eft :iri* 2 5 . non eft rr qtt£ i 
2 ^quintaeft:in nouenario ndn eft 
JExgobi pernaturamvtrtquc fecu/ 
t>i z compofiti fut :coparati vero at> 
feinulcem pumiincopofitique rib/ 





bunt:quobvtrofque nulla alia me 
furamctit nifi vnitas qu? abVmfcp 
Sznominaia eft . T^am in noxxena/ 
nononaeft:in. M-Vigefimaqmta. 

fc>e pumi % iucopoliti:': fecunbi x 
compofiti:': ab fc quibem fecunbi z 
compofiti abaltcrutfu5vero pzimi 
tincopofitip:ocreationc.£ap- 

£neratio aut 
ipfop atcp oi, 
ius buiufmo/ 
bi inueftigay 
ione coiligit. 
quam fcilicet 
eratofteues 
cribzumnofa 
bat:quob cfi/ 
ctis unpanbus in mebio collocatis 
gea5 qua trabituri fumus arte: qui 
piimi:quive fecubiiqtiique tertij ge 
neris vibeant efle biftinguit .iSifpo 
nam enim a ternario numero cun/ 
cti 1 ottyinc imparls :in qualibet 16/ 
gitfima pozzectione. m . 7. 9 . 1 r ; t j 
15". 17. 19.11 .23,25.27.29. 31 . 
35.37.39.41 ;43;45-4^49-l3isigi 
tur ita bifpofitis coufiberanbu:p:i' 
mus numcrus que$ eo? qui fuhtiit 
ozbine pofiti p:imum metiri po(fit. 
Scb buobuspreritisiUu5 quipoft 
eos eft pofit 9 mojrmetit ♦ £t fx port 
eunbe ipfus que mcfns eft:alij buo 
trafmiflt fut.illu 9 poft buos eft mu- 
ftis metit . £t in eobe mobo (i buof 
qs reliquerit : poft eos qui eft a pzi' 
mo numero meticbus eft. £obec^ 
mobo rcliais femg buob° a pzimo 
in infmitu pergetcs metient ♦ ©5 & 




17. 

%/ 
fctacet 

MM/ 



I (HIV 

tlo/ 

•'1 



tto vulgonequco5fufe.tlSp:imU5 
numcr 9 illu qui eft poft buos fedm 
feloeatospfuam quatitate merit. 
5Cernarius cui numcr 9 tcrtio-9- mc 
tiu&i aut poft nouenariu buos re/ 
liqueroiquimibipoftillos ineurre/ 
rit:a pzimo metienbus eft per fecu/ 
bi imparts quanritate: ib eftpqui/ 
nariu.11afipoft.9-buos rdinquaj 
ibeft. ii -et- i^ternariusnumerus 
i s- metief g fecubi numeri qua tita > 
teubeftpquinarijqinternarP. if* 
quinquies merit ."Rutfus fi a quin/ 
benario incboans buos intermife/ 
ro :qui pofterio* pofitus eftreius pii 
musnummis menfura eft ptcrttf 
imparts pluralitate.Tlasfi poft- i 5 
intermifero- i^et. i9-incurrit- n * 
que ternarius numerus fedm fepte 
nariu metit- n -enim numeri tern a 
ri° feptima pars eft. 2Ucg \yoc in in/ 
Tinitu fadene:reperio pztmu mime 
nirfibinos intermifero oes fequen 
tes poft fe metiri fedm quatitate po 
fitop o^bine impariu numerop. Si 
vero quinarius Humerus qui.in fe/ 
cunbo loco eft oftitutus : relit quis 
cuius puma ac beinceps fit menfu/ 
ra inueyire:trafmiflli8.4.imparibuf 
quintus ei que* metiri polT it occur/ 
rit.3ntmnittantent.4.irnparcs ib 
cft-7.er.9 et. n et- 13- poft bos eft 
quintufbecimus:que quinart'meti 
tur : fc65 p:imi fc* quatitate :ib»e ter 
narij.quincgem. if-tertiomeritur. 
#c beinceps fiquattuo* itermittat 
eum qui poft illos locaras eftrfecu/ 
bus ib eft quinariusfui quanritate 
metit. Tla poft quinbectm intermif 
fis- i7.et-i 9-et-2 i.'et-13-poft eos 



*rrcperio:quosqiunarius fcj'mt/ 
merits fua pluralitate meti£*Quin/ 
quies eni quinario mttiplicato- ^ 5 • 
fuccrefcut.Si tfo poftbunc quilibet 
4intermittat:eabe oi&inis feruata 
coftanria: qui eos fequit fedm tertij 
ibeft feptenarij numeri fuma a qui/ 
nario metiet .ittque bfc eft infinite 
pzocdTio.Sitfo terrius numer°que 
metiri poflit erquirit : fejc in mebio 
relinquentVrquefeprimu ozbomo 
ftrauerit :ty c per p:imi numeri ib eft 
ternarij quatitate meticbus eft. £t 
poft tllu^ fejc alijs interpofitis: quej 
poft eos numeri feries babit :g qui/ 
nariu ib eft p fecubu tertij eum men 
fura pcurret.Sitfo alios rurfus fejc 
in mebio quis relinquat:ilie qui fe/ 
quit per feptcnariunumeru ab eo/ 
bem feptenarto metiebus eft:ib eft 
per tertij quanritate. 2ltquebtc vfcp 
in ejetremuratus o:bo f pgrebit;Sti 
fcipient ergo metiebi vici(Titubine5: 
queabmobu fut in 02bine naturali 
ter impares coftituti . XDetienfaut 
fi g pares numeros a binario ic\)0/ 
antef pofitos intfeimpares rata in 
termiffice trafiliat.v*piim?btios:fe 
cubus.4-tcrrius.tf-quartus-S.quin 
tus- iccielfilocosfuosobuplicet 
z faimjbuplicarione temnos inter/ 
mittat:vt ternari^qui pnmus eft nw 
metits tvnu6.(Disenf pzim 9 vnus 
eft)bis locufuumultiplicet:faciatcg 
bis vnu. Qui cu buo fint^:im°buof 
mebtos trafeat /Rurfus fecubusib 
eft quinariuafi locu fuu buplicet-4* 
ejrplicabit:h)icquocg.4iutermittat. 
Ijtefifeptenarius quitertiuseftlo 
cu fuu buplicet:fe^: creabit* £>is eni 

b 3 



$;fenariu iun&mt. bic ergo in orbt 
ficm fcjc relinquat. Ouartus quocp 
fi locu fuum buplicet.8.fuccrefcent. 
Hie quocB-S-tranfiliat. atcp bocqui 
bem in coterie gfpicienbu.iDobuj 
aut mefionis fcdm oibinc colloca' 
to?ipfaferies babit.Tlampzimus 
pzimu quern numeratifcdm pzimu* 
munerat : ib eft fcdm fe/r (cdm pu^ 
mus qucm numerate fcdm nume/ 
rat.* tertium p tertiu.z quarto item 
gquartuJCum aut fecunbus men/ 
fione fufceperit f umu quern name 
rat fcdm pamu metit.fecunbutfo 
que numerat £ fe : ib eft e fecunbuj 
* tertiug tertium/r in ceteris eabe$ 
fimilitubinc menfura 9ftabk.#liof 
ergo fi refpicias:velqui alios meiv 
fi funt:velqui ipfi ab alije metiunt: 
tnuenies omniu fimul comune me/ 
fttram efle non pofle . neque ut oes 
quequa aliu fimul nnmerent . quof 
bam aut eje bis ab alio pofle metiri 
ita ut ab vno tantu numerent. aliof 
o ut etil a pluribus.quofbam aut 
iitpzeterTnitateeop nulla menfw 
ra fit. Cui g nulla menfuram pzeter 
vnitate recipiut: bos pzimos z inco 
pofitos iubicamus ♦ quitf o aliquaj 
menfuram p:et vnitate uel alienige 
partis vocabulu foitiunt :eos p/ 
nimciemus fecubos atquecompofi 
tosjCertiutfoillub genus gfefecu 
biz eopofiti : pzimi o z incopofiti 
ab alterutm coparati : bac inquifi/ 
cot ratione reperiet . Si eni; q u ofli / 
bctillosnumeros fcdm fuaifemct 
ipfos multiplies quantitate:quij?/ 
creat ab alterutrucomparatijuiilla 
meufurc comunione iunguntXrcf 



enim z* f • fi multiplices : tres tertio 
9.faciut: < r quinquies. * -rebbent. 1 5 
t>is igif nulla e cognatio comunis 
menfurf .*Rurfus. y .et. 7. quos pio 
creant fi copares : bi Qwocp income 
furabiles erut.Ouiuquies eni gncp 
ut bictu eft- i 5 • fepties. 7.faciut- 49* 
Ouop menfura nulla comunis eft: 
nifi fozte omniu bomm ^creamy z 
matervnitas* 

fceinuentioneeop numero:ujqui 
ab fe fecubi z eopofiti funt: ab aliof 
tforelatipummncopofitiJCap. >3 




Ctaverora 
tione tales 
:numerosin 
uenire pofli 
mus:fiqui$ 
nobifeofbe 
pzoponat t 
impetagno 
fecre vtrum 
aliqua mefura comefurabiles fint: 
an certe fola vnitas vtrofcp metiat: 
reperienbi ars talis eft . fc>atis enim 
buob'numeris in|qualib 9 : auferre 
be maio;e minoee opoetebit . z qui 
relict 0 fuerit:fi maioi eft: adferre c% 
eo nirfus mino:e:fi to minoz fueric 
eu eje reliq maioze betrabere . &tc$ 
boc eo vfcp f acienbtr.quoab vnitas 
vltimavice retractionis impebiatj 
aut aligs muner 9 impar necefl"ario 
fi vtricp numeri itnpares ^ponanf . 
Seb eu g relinquit numep : fibiipfi 
t ibebis jqualem. £rgo fi invnuin 
curratriciffim iftafubtractio^zimi 
cotra fe neccflario numeri biceiu: z 



nulla alia ntfnfura nififolavnitate 
coiucti.Sivo ab alique numeruut 
fupius bicru eftifi lis beminurionis 
incur rertt:erit eni numerus qui me 
tiat vtrafcp fumas.atque eube ipm 
qui remiferit :bicem*vtroy eg comu 
ne efle menfura. 3lgeeni buos mi/ 
meros.ppofiros babeamus :quos 
iubeamur aguofcere-'an eos aliqua 
mcfuracomunis metiat . Mtqucty 
fint.9fc$ t-i9-bocigif faciem'mo/ 
to recipzoca beminutione.&ufera 
musbemaiozeminoze :boceft:be 
*9-nouenariU5:reUnquent.2o . j£y 
bis g-2 o.rurfuf minoze ben-abam' 
lb eft* 9 • t reliriquent. 1 1 . £jc bis rur 
fus betrabo^relictifunri. Ouos 
fi betrabo nouenario:relictifunt*7* 
Oi> fibuo r urine feptenario bepfe/ 
rimifupfunt* jatcpejrbis altos bU' 
osrtres rurfuj erubcrat . quos alio 
binariobiminutosfolavnitas fug 
ftes egre&ir . *Rurfus fi q: buobus 
vnu auferari vno termin°betractio 
nis berebitrque buo:p illop nume^ 
rep toeft.9-et.29-folune<paliuc6/ 
flat efle menfura .Tjos ergocotra fe 
pzimos vocabim 0 . Seb ftnt alii nu 
meri nobis eabe cobirioneppofiti: 
ib eft. 2 1 et- 9 • vt quales bi fint inue 
ftigent cu ftbimet fuerint inuice co/ 
parati /fturfus aufero bemaioze 
minozis numeric|uatitate;ib eft.9. 
be. 2 1 -relinquent . 1 2 . £r bis niiv 
fusbemo. 9 fupfunt • ?.Oui fi eje no 
uenarioretrabanf : fenarius relin^ 
quef.Quibusitefiquis ternariuro 
bemat. 3 .relinquent. be quib° tres 
betraty nequeunt.arque bic eft fibi 
ipfi fqualis. Tla. 3 • qui betrabebar 




tfqtte ab ternarittm numep paste/ 
runt.a quo quoniam f quales funt; 
betrabt minuique non potcrant . 
iDosigitcomenfurabites pzomwv 
ciabimus % eft com qui eft reUquue 
rernarius menfura comunis. 

itlia partitio parts fecunbum e 
fectos tmperfectos z rltra quam £/ 
perfectos. £ap. 19- 

jCbeimparib* 
numerisquan 
tuintrobuctio 
nis pmittebat 
bzeuiras ejepe 
bini5eft/Rttr 
fus numerozu 
pariufic fitfe/ 
cttnba btuifio.illy eni5 eo? funt fit/ 
pflui.alObiminuti fcdmvtrafc&ba 
bimbines inf qualitatisJDis quip/ 
peincquaUtas:aut in mato:ib* aut 
in mihozibus cofifcerat . 3 Hi eni im 
moberata quobammobo plenitit^ 
bine:p:opzijcozpozismobu partifi 
fttaru; numerofttate pcebut-3fllos 
aut reluti pauptore topes oppflbfeg 
qbi nature fu£ inopia mioz qua ipi 
fut ptiii fuma coponit ? . atcp illi gbej 
quor ptcs rltra qua facr eft fefe poz 
rejcerut.fupfluinofanf.utlut- »2-uf 
24. iDient fuis ptib° coparatimaio 
re ptiu fuma toto cozpe fozttuf . £ft 
eni buobenari; mcbietas.^- ps ter 
tia-4-ps qrta^ps fe)rta<.2.gs buo/ 
becinia- t-eft.OffcBbiccumul''rebu 
bat in- \c* ztoti? cozpis fui multitw 
binej rincut ."Rurfus- 2 4- nueri mev 
bietaseft* Uitertia^.qrta .tf.fe#a 

b 4 



4-octaua tria:buobecima. ^vicefi' 
maquarta vnum qui oes triginta s 
fejrrepebut. ^nquaremauifeltue 
quofc ftimma partiu maioi eft :z fu/ 
pza piopiiu coipus ejcunbat ♦ Step 
bicquibequonias c6poftt£ partes 
cotitis fumma numeri vincunt : fug 
fluus appellate £>eminutus vero iU 
lecui'eobemobo c<5pofit£ partes 
tot mb termini multimbine fupant : 
vt-S.vel9babct em octonari 9 par- 
tem mebia:ib eft-4-babet z quarta 
ib eft buo. bab$ t octaua ib eft vnu 
qu£ama£in\mu5re&aa£.7.colli/ 
gunt:mino:e fcj fumma toto co:po 
reoclubetef/Rurfus. i4-babetme 
bietateib cfeptenariu.babetfepti 
maabe.i butqVtabecima ibc- i.q 
in vnu fi collect^ lint: benarij nuine 
ri fumma cocrefcititoto fc> termino 
mine:. 2ltque bi quibe* \yoc mobo 
fuut:utpziozilleque fu£ partes fit/ 
perat talis vibeat :tacg ft quis mill/ 
tis fug naturamanibus nat* vt cen 
timanus gigas^vel triplici coiuctus 
coipozeiut gerio tergemin 9 ui'qtuc/ 
quib vnqua moftruofum natura in 
partiu multiplicatiouefurripuit.^l 
leveroutfinaturalifquaba necef/ 
faria parte betracta :aut miiVoculo 
nafceref s uc cpclopee frotis bebe<? 
f uit.uel quo alio currat 0 meb?o: na 
turale tonus fuf plenimbinis btfpc 
biufouiret. 3faterbos autvelut in 
ter fquales inteperatia6 mebij tern 
peramctu limitis fomtus eft ille nu 
merits quigfectus bicit-.virtutis fq; 
f mulatoz qui nec fueuacua pgrefli 
onepomgitineccotracta nirfus bi 
inimitioneremittit :feb mebictotis 



obtincs terminu futs £qu 9 partib ; 
nec craflaf abunbantiamec eget m 
opia :ut fey u el- * 8 • Tlaq* fenarf ba 
bet parte mebia ib eft. 3 - * tertia ib 
elU-tfejctlibeft. i.qitf in warn? 
ma ft rebact? finrpar totus numeri 
corpus fuis partibus inuenit- 1 b -ve 
robabetmebietcte. \4Z feptima-4 
nec caret quarta ibeft.^.poflibet 
quartabecimav * • et reperies 111 eo 
vtcefuha octaua. 1 -que in vnu reba 
etc torn partibus cozpu* jqu&bunt 
is.enim mncte partes efficient* 

fc* generatione numeri 
perfects £ap«*o. 

St aut i b^ quocjj 
magna fimilitubo 
virnuistviciM^er 
fectosenim numc 
ros raroinnenies: 
eofque facile nu / 
merabiles • quippe 
qui pauci flint:* nimis coftati ozbi' 
nepzocreati-atverofuperfluos ac 
beminutos longe multos infinitoP 
quereperiestnec vllis oibinib 9 paf/ 
fun iuoibinateque bifpofitos : z a 
millo certo fine generates ♦ Sunt 
autemperfecti numeri intra bena/ 
rium numeru .tf -intra centcnarium 
1 S antra millenary numeru -49^ 
intra becemmilia-S 1 28. £t femg 
bi numeri buobus paribus termi/ 
nan£*-et- S femper alteniatim in 
bosnumeros fummarumftne per 
ueniut . Tlam z pzimum fcjc beinbe 
^3. -C>oftbos.49^ibemfeuarius 
qui pumus . poll quern- 3 uS.ibctn 




octonarius qui fecubus. 6eneratio 
aut pcreatiocp eo:u eft fyca firmace 
ncc quo alio mobo fieri pofllnt :nec 
vt ft \)oc mobo fiat aliub quibbi vl 
lo mobo valcat^creari.fcifpofitos 
eniabvnooes pariter pares mime 
roe in ozbine quotifc& volueris:p:i' 
ino fedm aggregabis : x ft p:im° nu 
mcrus x incopofit' , ejt:illacoacerua 
tione faaTtt.tota fiima in illu multi 
pltcabisque pofterPaggregaueras 
Si o coaceruarione facca p:im° x 
incopoftt°uo inueffuerit f5 copolit* 
tfecubii6:huctranfgrebercaiCg ali 
urn g fcquit aggregabi s. Si v ; o nec 
bu fuerit pzimus x incopofitusialiu 
rurfus abiungetvibequib fiat.Qd 
ft pzimu iucopofttucp reperies: tunc 
in vlrimf multitubme fume coacer/ 
ttttione$multiplicabis. £>ifponant 
enimoes pariter pares nmneri \yoc 
tnobo. n.4.8- 16.^2.^4. uS.faci/ 
esg ita:pones. 1 .eicg aggregabis. 
2 -Xilc refpicies ejrbac aggregatioe 
qui numer 9 facms fit:funt. 3 qui fev 
licet pzimus x iucopofitus eft:t poll 
vnitatevltimu binariunue? aggre 
gaueraf.Siigititcrnariuib cquiej: 
coaceruarione collect 0 eftp binariu 
ml'tip!ices quielvltimtis aggrega^ 
tusrgfectus fine vl'a bubitatioe na 
fcet-Sus em". 3 .tf .faciut.qui babent 
vna quibe a fe beuominata partem 
ib cfej:ta:tres veromebietate feqi 
bubnalitate.atverobuofcdm coa 
ceruatione ib eft fcdmterciariu: qm 
coaceruari tres mulripUcatifut. Ui 
gintiocto auteobemobo nafcunt. 
Si ein fug vnu x buo qui fat tres ob 



bas fequente pariter pare ib eft 4* 
feptenaria fummafacief .feb vltimfi 
nmneru quaternariu ofequentcr a& 
iunjrerasrperbucigit ft ilia coacer/ 
uattonc mttiplicaueris:j>fectus mi/ 
merits pzocreat.Septies em-4- 2 
ftint:quieft futs partib°par:babcns 
vnu a fe benominatum ib eft vigeft 
muoctatiu:mebietatc vero fedm bi^ 
nariu. i4-fc6m quaternariu^. fepti 
mavcrofcom feptcnarium-4- fedm 
omniu collection^ quarttibecimu: 
buo:qui vocabulo mebierat* oppo 
nit .£rgo cum bi reperti fint:fi alios 
inuenire fecteris :eabe opo: tet ratio 
nevtveihges.Tbones eni vnu lice/ 
bitrt port buc- 1 -x* 4- qui in feptena^ 
riu cumulant : feb be bocbubu ejrti 
tit- - s . pfectus numer 9 . T^uic igit g 
fequit pariter par ib eft-S . cotinens 
iungaf accetfio. qui pzio:ibus iuper 
ueniens .15- rcftituit.. Seb bic P* t> 
mus ct incopofitus non eft. *Dabet 
enim generis alterius partem fuper 
illamquf eft afeipfa benominata: 
quintabecimam fcilicet vnitatem. 
*bunc igitur quouiam fecubus eft z 
copofitus pzeteritorr abiunge fupe 
riozibus contineute pariter parem 
numeruibeft. i^.Quiatm- i|-iiw/ 
ctus V11115 ac- 3o.conficiet ; . Seb bic 
pzimus rurfustincompofitus eft. 
tmuc igiaircu^ejciremi aggregati 
fummamultiplica:vtfiant febecics 
31 -qui.49^ejcpltcaut.t>fc autem 
eftiiwa millenariumnumeru per/ 
fecta x fuis partibus £ qua mimero/ 
fitas^gitur pima vnitas virtute at 
quepotemianon etiamaauvel re 



* ipfo perfect** eft .Tlamfi pzimam 
ipfamfumpfero bepzopofito ozbi/ 
rie numeropivibeo pzima atcp inco 
pofitam.quafi per feipfam multipli 
coreabemmibivnitas pzocreatur. 
Semd eni vnu folam eflFicit vnitate 
qtff partibus fuis ^qualis eft poten 
tia folum:ceteris end actu arq; ope/ 
repcrfectis/Recte igitur vnitas pzo 
pziavirtuteperfectaeftqd et pzima 
eft z incopofita:* per feipfam multi 
plicata fefe ipa conferuat.Seb quo 
niabe ea quatitate qu| per fe fit bi/ 
<tueft.operisfequentia abitla qu£ 
refertur ab aliquib traflferamus. 

Jserelata ab aliquib quan/ 
titate. £ap.*i. 

t> aliquib vero 
quantitatis bu 
pier eft pma bi/ 
uifio.Omne eni 
aut £ quale eft: 
atttinjqualegc 
quib alteri'co/ 
-paratioemetit. 
ft % quale quibe eft : qd ab aliquib 
coparatuneque minozefuma infra 
cfttnecp maioze trdfgrebit . vt bena 
rius benario:vel ternarius ternario 
Vel cubitum cubttotvel pes pebi : et 
bis (Tmilia.l3fc aut pars relat£ ab 
aliquib quantitatis ib eft cqu alitas 
naroraliter inbiuifa eft. Tlullus eni 
bicere potefttquob f qualitatis boc 
quibe tale eft:illut> vero buiufmobi 
Omnis eni jquatitasvnaferuat in 
pfopziamoberatione menfura*3ft' 
lubetiaquobquc eiquantttas CO/ 




paratur: non alio vocabulo atque 
ipfa cui comparatur ebicitur. Ham 
queabmobu amicus amico amicuf 
eftivicinufq* vicino:ita bicitur £ qua 
lis fquali'.^nfqualis vero quan / 
titatis gemina biuifio eft ♦ Secatur 
eni quob in? quale eft in maius atqj 
minus :quf contrariafibimet beno 
minationc fungtmtttr Tlantg m* / 
ius minoze maius eft: z minus ma/ 
ioze minus eft:z vtra<B non eifbem 
vocabulis quemabmobu fecunbuj 
fqualitatembictuj eftfeb biuerfis 
biftantibufcgfignata funt ab mobu 
bifcentis fcilicet vel bocentis: vel c? 
bentis vel vapulantis : vel quf cun/ 
que ab aliquib relata aliter benomi 
natis cotrarijs coparant. 

£>efpeciebusmaiozis in?qnalitatc 
etmtnozis. JCap**- 




2tiozisvero mjq/ 
titatis quincp par/ 
cesfunt.£ftenim 
vnaqu^vocacmnl 
tiplejc aliafugpar/ 
ticularis:tertia fu> 
_perpartiens:quar/ 
ta multiply fuperparticularisiquin 
ta multiple? fuperpartiens ♦ t>is igi 
tur quinq* maiozis partibus oppo/ 
fit? funt alif quince partes minozis 
quemabmobu ipfum maius mino/ 
ri femper opponit :q ue minozis fpe/ 
cies ita (ingillatim fpeciebus.v. ma 
iozis bis que fupzabictc funt oppo/ 
nuntunvt eifbem nominibus nun/ 
cupcntur: fola tantum fiib pzepofi' 
tione biftantes. fcricttur eni fubmul 



tipIe^fubfiipcrparticuUrid: fubfufi femcl maiotf nUmerat fuma: fua fcj 

parttens: multiple? fubfuperparti/ quatitare cu* co £ qliter incbois cq 

culans: t multiplejc fubfuperpartt/ liter® beterminas. 3Jbem aut bico 

cna * numerat qd metit.Si igif bis foluj 

maioze mime? minoi numer'merf / 

DC multiplici eiufqj fpecteb'earocg atur: fubbuplus rocabit . fi tfo ter : 

generationibus. £a£. * h fubtriplus . fi qter: fubqbuiplus . et 

fit per b?c in infinitu^greffio. abbi 

clrfus mftipleje tacp eos feme fub ppofitione nomi 

eft pzima pars nabis.vt vnus buo? fubbuplus.tri 

maiozl infqua urn fubtriplus .4- fubqb:uplus ap/ 

litatis xuncris pellat z cofequenter Xu aut natura 

ali; s anttquio: liter multipliers z fubmftiplicitas 

naturaque pr infinita fitreozu quocp fpecies per,p 

ftantio* • vt pau pzias generationes in infinita confi 

lopoft bemon/ beratione verfant.Si eni pofiti6 in 

ftrabimus.t>ic aurem numerus \yt\ naturali conftitutione numeris fin/ 

iufmobi eft.tft eomparatU8 cum aV gulos per fuas cofequentias pares 

tero:illum contra quern compara^ eligas : omnia ab vno parium atq* 

tus eft babeat plus qua? femel.06 impariumfefefequentiumbuplicea 

piimu in naturalie numeri bifpofiv erunt.et buius fpeculationis termi/ 

tione couueniet. Tlamque ab vnuj mis non beficit. t> onaf eni natura 

cunetiquifequuntunomniuozbme "*is numerus bocmobo. i.u^p 

multiplied feqiventias varietatefq* 0.7.8.9. 10. 11 ♦ ip 13. 14. 1 j. «j. 17 

cuftobiunt.Sbpnmueni ibeftvni 18. 19. 20.130mm ergo ft pumufu/ 

tatem- 1 . buplus. 3 • triplus-4- qua' mas parem ib eft .1 . pzimi buplus 

butplus.atque ita in ozbinem p*o/ erit ib eft xmitatis . Si vero fequeii/ 

grebientes.omnes tejeuntur nwlti/ tern parem ib eft 4- fecunbi buplus 

plices quantitates.Quob autem bt eft ;ib eft buoeu.Si wo tertiu pare 

ctum eft:plus qua femel: ib a bina/ lUmas ib eft. Mertil numeri in nam 

no numero pzincipium capit:? in in rali coftitutione buplus eft ib eft ter 

finttum per ternarium quaternary narij.Si vero quartu pare mfpiciaf 

umcp x cf teromm ozbinem fequen ib eft.S.quarti numeri ib eft qterna 

tiamque pzogrebitur Xon tra bunc ri> buplus eft. # bec& in ceteris in in 

vero bifcriminatus eft ille qui poca finitu fumentib 9 fine aliquo impebi 

tur fubmultiple^ z \ycc quoque p*i/ mento pzocebit* Xriplices aut naf > 

ma urinous quantitatie tyecies eft. cuntur :fi in eabem bilpofitioe natu 

I3ic aut numei^bwiufmobi e:qui in rali buo femper intermittant ; z qui 

wen'coparatioejpbuct'; plus qua poftbuofutabnaturalem numerti 




c5parmturej:ceptotcmario:qiuvn 
vnitatts triplus fit folubinariu p:<^ 
termtttit.1>oft vnu z two- 3 • tit qui 
triplus vnius eft. Tfcurfus poft-4- ct 
5 -flint. *qui fecuM numcri toeft &u 
om triplus eft* tturfiss poft.^. func 
7. et- S .et port l?08. 9*Q«i tertij mime 

ri i&eft ternarij triplus eft .2ltcg hoc 
i&em in infinitu fiquis faciat fine vl 
la oflenfione<pai>it. Ctaatuuplow 
verogeneratiofdpitfiqmstres nu 
meros tntermittat. -£>oft vnu quip/ 
pcz-i-ct-j-fnnt-4-qai p:imi ifreft 
vnius qua&uipluseft. Unrfus fi in 
termifero quinariurfenariu: z fepte/ 
nariutoctonari* mity quart 0 occur/ 
rit:tribus fcilicet intermiflfistquibi' 
nariji&eftfecu&i numcri quateii' 
plus eft.St vcro fi poft octo ires ter 
minos intermifcro ifceft-9-eMP- 
z. 11 .&uobcnariusquifcquitterna 
ri) nuiueri quatmtplus e. 2ttcsb°c 
i&em in infinitu pgreflis nccefle eft 
atenire:femgc& vna terminer inter 
miflfionefi crefcat at>iecrio:o:t>ina/ 
tas te multipiic: numeri vices inue/ 
nir&miraberis. Siem : 4-intenuit/ 
tas:quiucuplus inuenit.fi qutq;:fcj: 
cuplus.fi fejt feptuplus .fempep ipfi 9 
multiplicitatis nomine vuo minus 
intermirfiois vocabulo jjercant.TU 
fcupius vnum intermittitttriplus- * • 
quatouplus- 3 .qnincupliif-4* £t &e 
inceps at) eun&c o:&ine fequetia e. 
£t oes qui&e bupli fc&m,ppiias fe/ 
quentias pariu mimerozu pares fut 
£ripiiverovnus feme par termin 9 
impar alius inuenif .Ouatmipli ve/ 
ro rurfus fempcr parem euftotnunt 
quantitateXoftituuntiircB a quar/ 



to nnmero wo cx pzioabu* per 01/ 
t>ine pofitis paribus intermiflb: pn 

Sfcnario.portbunc. ii«J* 
fo &enario.atcpboci&c«irnii icggj 
Ouincupli vero^pofitio fedm trjj 
cisfimilitu&inejatternatim pan!* 
atcp imparibus pofitis ortnnat. 

C>e fucpartiailari eiufcgfpeciebHs 
earucp generationib 9 . £ap- M- 

Dperparticula/ 
risvero enume/ 
rus at> alterii co/ 




paratus:quoties 
[babetife totumi 
nozet parte eiiis 
_aliqua.Quifimi/ 
no:is babeat me&ietate: vocat fcP 
qualter.fi v*o tertiipartcnv.vocatur 
fefqttitertius .fi vero qturta?: vocat 
fefquiquartus.et fi qninta : vocatur 
fefquiquintus.atquebis nomini/ 
bus in infinitu tmctis : in infinitum 
quocpfuperparticulariu foimap:o 
gretnt. £tmaio:es quit>e$ numcri 
bocmobovocantur:mino:esvero 
qui babentnr toti z eo:u aliqtu gs: 
vnus fubfefqualtcr: alter fubfefqui' 
tcrtius:alius fubfefquiquartus: ali> 
us vero fut fefquiquiutus : atcp itjcj 
fedmmaiom no:ma mulritubinccp 
piotc&it . Lioco aut maio:cs nume 
ros&uces:mino:es comites . Sug 
particulariu quocp infinita eft mul/ 
titubo:ob earn re quofc eiufoc fpect 
esintermiuabili pzogreflioue futv 
gunt.llancp fefqualter babebit qui 
&C5 &uces ocs poft tcrnariu nume/ 



£ 3 




Early European Books, Copyright© 201 1 ProQuest LLC. 

Images reproduced by courtesy of the Biblioteca Nazionale Centrale di 

Firenze. 

Magi. A.6.22 




m 



nico/ 
nones 
:ocumi 

m 

mod 
;:roatur 



.SUE 



ru uaturaliter triplicesXomites fa 
omnes poftbiuariunaturaliterpa 
res.tjoc mobo:vt p:im? p:imo:fecu 
bus fcDOiterti 0 tertio coparet: t be/ 
tuccps? Jbcfcribautur eni lougiflimi 
tfcrfus triplidum naturalis uumeri 
atcgbUpliciu:? fit tyoc mobo. 

(5|3 



eobe mobo cuncridufbe pzimiter 



■ 1 »5j iSjih |i4|27[3o| 

I id I2| I4| \6\ lS|loj 



•JMimus igit verfus cdtinetnumep 
naturale:fecubus eius triplice:terti 
us vero buplice.atcg in co ft ternari 
us binariorvel ft fenariusquaterna 
rio.Tf nouenariTeiiario coparet: vt 
oes trip!ices fuperio:es fi buplicib* 
numeris cofequentibus opponant: 
cmiolja ib eft fcfqualtera piopoitio 
nafceurcs em ljabent intra fe buo 
z eop mebiapartc ib eft. 1 .fejr quo/ 
eg otiuent intra fe-4- -reopmebieta 
te ib eft* * ♦ ? none intra fe fenarium 
daubut :z ti? mcbia parte : ib eft. 3 . 
eobecp mobo incf teris . jsicenbn* 
rero ft qttis fecubi fpecie fttp parti/ 
cularisnumeriofiberare befiberet 
ib eft fefquitcrtia:qualt ratione repe 
riat.ac biflfmitto quibe t)uius copa^ 
rationis talis eft.Sefquitertius eft: 
qui minoii coparatus babet eum fe 
melt eius tertia parte.feb biinueni 
unf fi omnib^a quaternario nume/ 
rootinuarimquabrtiplis ^ftitutis: 
a ternario numero triplices copare 
tuneruntefcbuces quabzupli: comi 
tes tripli , Sit eni in oibine fjoc mo 
bo numer'naturalis :n fub eo qua/ 
brupli:? fub eo tripli fint. fupponat 
fub pzimo quabeuplo pzirn 0 triplus 
fub fedo fecubus.fub tertio terti 0 ; et 



l«l*U 14 1 


S \6 1-7 




|4|S| i2| itf 


zo|i4|i8 




|»|tfj9 |u 







tertia ratio otinebit.Tla M- tribue 
coparcs :babebut in fe.4-totu terna 
riu % eius tertia parte ib eft. r .% fi fe/ 
cunbu fedo ib eftoctonariu fenario 
copare$:ibem inuemef: tyabebit eni 
daonarius feuariu totu z d? tertia* 
pane ibeft. r. z per eanbe fequentia 
vfc& in infinitu^grebienbueft.Tlo/ 
tanbuquocgeffcqd.^comites funt 
buces. 4- "Rurfus .^.comites : buces 
$>z in eobe oibine ccteri fimili mo/ 
bo vocaut buccs fefquitcrai- comv 
tes fubfefquiterti; : z in cunctis fedm 
bucmobumpofitaconuenit ferua' 
rerocabula. 

£>equoba$ vtili ab cognitione fug 
paiticularib'accibente. .Cap. 2 5* 

jOcaut abmb 
rabtle^funbif 
fimiKfctn ifto/ 
ru ozbinib°iny 
ueuttur:qdp:i 
mils bu^ph/ 
Tuufcp comes 
ab fe inuicem 
_ nulla numert 
intermifHone copulant . Tla5 primi 
fe nullo in mebio pbfito tranfeut: fe 
cubiinrerponilt. i rertij buos.quar 
ti- 3 r beinceps vna femper minoze 
qua ipfi fut intermiffione fuccrefcut 
Mtq$ bocvel in fefqualteris:vtf.in fcf 




fluitcrtiJs^clindUjo fuppartfoila/ 
ris partibus necefle eft imieniri.Tta 
que vt quaternarius cotra ternariu 
coparetur: nullu intennifimits.poft 
3.eni$mojr-4-fant, Mvf o.<*-5.8.in 
fcdo fcilicet fefquitertio:vna facta 

enintermifno.3^.^ enrcl ^ 0/ 
luseft feptenarius qui tranfmifius 
cftnumertt0.^urfu8vt-9-wa. u- 
coparemusiquifunt in trifpofitionc 
*terriJ:two:um metric? eft facta traf 
mirtio. fitter ^eniet* u-lut- »o.et 
it .fc6mbwncmo&um quarta t>fl> 
pofitio j.quinta 4*intermittit* 

fcefcriptio c qua t>ocet ceteris in$q 
litatis fpedeb' antiq vAoit efle mub 
tipiicem. £o£«i** 

tloniam autem 
naturaliteretfe/ 
ctm&u p:op:iaj 
ozbinis cofeque 
tia:multiplicein 
jqualitatis fpc/ 
tie cunctis p*<p 
_ pofuimus :p*i/ 
maqjfpedem efle monftrauimus : 
licet boc nobis pofterfcnia opens 
oi&ine darefcat :l?ic quocp pcrftnn^ 
gentes it> quo&,ppofuimu« plamflf 
mebzeuitercp t>oceamus.Sit enim 
talis t>efcriptio in qua ponat in ois 
fcincvfque at>t>enarium numeruj 
continuimimerioi&o naturalise 



fecfibo^erfit jwplusoitw 
ttrtiotripUis: quarto qiwMupltw: 
S?S^^plfi.S^nimco 

Uarietfuperp^ 

alijs piinceps erit fpeaes ™at£U/ 

t at) fubttlitate tenutfflma: t at) fci/ 
cntilvtiUirunaiiat) eycrcitationej 
mentis iocun&iflima* 




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Sccfoawita*. 



£ctragoua. 



Tft atio atq$ crpofitio bigeftf foemu 

JCap.i?\ 

^igifbuopmalotc/ 
rajjpofitf fozmulfq 
factuc agulu:ab vno 
at>- io.et. lo.jjcc&eu 
tiarefpiciauztyefiib 
tcriozce oibfcs copa 
rent :qui fcilicet a-4-anguhim itictpi 
entesrinvigenos rerminu pontine: 
bupiejc ib eft piima fperies mulripli 
cimie oftmbimratavtpamuspn/ 




mufoUlUperetvnirate : vt buotnfi 
fecub' (com bin aho fugu abat :rt q / 
ternarPbinarifi. tetti'terriutribus: 
vt fenarP ternariu.qrtus qrtu qtetv 
nart; numerofirate tranfeenbat : vt 
S qternariu :z p ca&c cacti fequetii 
fefe rninozte pluralitate pzetereant. 
SiverotertPangultio afpiciatig ab 
9.mcboa8l6guut»ine laritubinecg 
tricemsaltrinfecus numerfeittebit: 
et hue cu pma latitubine et logitubi/ 
necoparctur: triple* (pecie* inulti 



cabuffcbrnquatanartovtbinariu P»^^,^^aSS«^ 

rtwiua.tertiuetmiufer.utterna' ^^^ZIVS^Tbx 

riunouenariVabeube'ccterimo/ tCTnuetertwtnbustt^in^e.^ 

SjS^to«gdfcut.<5i«Bran foquartua ^^«£E£a 

no&Scct-ripfa natural cbie/ vt.4.ab^«obec£tCTO0Ojbtneco 

chindtib'uitmipromobulobefcrt/ ^ r^^^^^^Jl 

prioniaapparetSiquiaautquarx 8^«»oni^«J«J 

riquantitatenotatueeft:<rlongitu/ eoaqmfubipfiamttfiibem facuatt 

Sine latitubinecp inquabtagenoe fcquetea write jaterntrw ^copara; 

beterminatvelit utpioubua copa/ urns oca fine vUo unpebune toi pe 

rare e-r littcre founam^pouione ciea fupparnculari agnotee.poc 

coUataquabJupUmulutubine-pno autinbaceft bifpofitioebuunu qd 

tabit.tXfqjeltoebinabilisftiEfe.p/ omneeangulareanumeri tetrago/ 

crefl'io vt primus primu cribtte fupe ni fut^etragon'attt bicim bJeuuTi 

ret :vt.4 vnitate.SecttMiefecubu5 me bicamqopoft lamia e^ucabit: 

fenario rincattvt octo binariu. %er que &uo equates uumeri multiply 

tmetertiunowaiariotrafeawtbuo cam.vtinbacquoq5befcnptioeeir. 

oenariua ternarul .zfeque'tea fumu wua cni femelrvi? eft:? eft poterta/ 

\c triii fe feme abiecta qtiatitate trS te tetragonua.gte bia buo-4- runt. 

fileant.JEtfiqtte fubterioiea alpici/ %cr.?-9-quoa infcmctipfasmiuri' 

at angulos : ibem p oca multiplied plicatioce pmi oibtnia pfeeere. £ir 

tatia fpecieo vfqj ab becuplu bifpo/ cu ipfos cro qui ftit ib eft circu an < 

fiitflima oibiuattone penienict. gularea: longilatcn numcrifut. %6 

Si quia vero in 1>ac befcriptione gilateroa aut voco quos rno fe fap. 

fupparticularia fpecica requiratta/ grebientca nutneri multtplicat. £ir 

limoborepcriet.Sienifcdmaugu au4cnl.ifuntT^febbuonafciit 

lu notetcui' , eft initinquaternariiw: eje vno x buob' cu vnubie multiple 

etcRfuBiacetbinariuaiatqjbunc'fe/ caucriatfebvnttaa abinanovmta> 

quente* quia accomobet oibine: fef te pccbit.Se* \<o.a buobua et tnb' 

qualtera^pojtio beclarabtf.Tlam bia eni tresrfenanurebbut. Tloue/ 

tertiua feci verfua fefqnaker eft.rt nariutfo fcjct-i i. daubut. g- n»* 

tree ab buo:velfejcab quamom-cl tribua nafaintt-4-Xcrcn».4- hunt 
$,abtf.vf. u.ab.viv-5tcmqjincp u©enarf > vcrc«|ebuob' , t tribua. 




[•1Mb 



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C6is erf. ? .facifit-tf • qui omnes toto 
m*io*ib°Uteribus,pcreati fum. Tla 
cu ^ejt binario ternariocg nafcunf: 
ires binariu numeruj \mo fttperant 
ctmcticp ali/ eiufbe mobi funt#t p*i 
mo z fcdo oibine ab alteratru mul/ 
tiplicatis temtinis,pcreent:ita vt qd 
nafcitejrbuob'longilateris altrin/ 
fecuspofitCrrbismebio tctragouo 
tetragonus fit: ft rurfus q& cjrbuo 
bus altrinfec* tetragonia: z vno me 
bio longilatero bis facto nafritur: 
ipfequoque tetragonus fit.zt tan^ 
gulozutotius befcriptionis aban/ 
gularestetragonospofitom vnius 
anguli (it pzima xnitas : altcrius o 
qui stra eft tertia, *&ini$o altrinfe/ 
cus anguli fecubas babeantvnita/ 
tes .z buo angulariu tetragonop an 
guli f quu faciunt q& fub if is ttinet 
illi qd fit ab vno illon^quteft altrirt 
fecus angulom. XDulta erf Tut alia 
quf in bac befcriptioe ttilia poflunt 
abmirabiliaq* EPenbiquj interim 
j?pter caftigata introbucenbi b:eui 
tatem ignota efle ^mittimus .Tlunc 
vero ab fequetia^ppofitu sueitam*. 

be tertia incqualitatf fpede qtif bi 
etc fugpartiensibecg fpectebuseius 
carucg generationibus. Cap.iS* 



6it poftbuas p:i/ 
mas babitucunes 
mulriplices tfuper 
particulares izcas 
quf fubipisfutfub 
multipliers :et« fub 
fupcrparticulares 
tenia incqualita / 




tie furies imtentotnqttf a nobis fit 
perius fugpartiens bicta eft t>ece 
ant qu£ fit cu numer 9 ab aim copav 
ratus:babet eutotfi infra fe: z ePin 
fug aliquas partea:v>elbuas: reL*. 
vd-4-vel quot ipfa tulerit coparatio 
Ouf fynbitubo inapit a buabus gti 
bus tertijs. Tla ft buas mebietated 
babuerit:qui ilium intra fe totu CO' 
ercet:buplus,p fugpartientecoponl 
tur.t>abebitaute*>elbuas tertias 
relbuas quintas:vtfbuasfeptimas 
tel buas nonae* z ita,pg>ebientib* 
fi buas folas partes minoris nume 
ri fuebabuerit:per eafoe partes im> 
paribus numeris minoze maio* fu/ 
ma trafcenbit. Tla fi eu babeat torn 
z buas eius quartas: fugparticula/ 
lis neceflfario reperif. Tla buf quar 
tf mebietas cftiz fit fefquahera to/ 
paratio. Sitfo buas fejrtas: rurfua 
eft fupparticulart • fcuf erf fejrtf gs 
tertia eft.Qd fi in coparatioe ponat 
fefquitertif babitubinis efFiciet fo:/ 
ma.Ti>oft bos nafcunf comites qui 
(ubfuppartientes rocanf. tytrixtfut 
quibabenfab alionumeroeteojtt 
vel buf rvf. i . M^vfquotlibet alif 
partes.Si ergo itumerus aliu intra 
fenumeru babes eius buas partes 
babuerit:fucbipartiens nominatur 
It rero tres fiiEtriparticns . quob ft 
4-fucquabzipartieus.atcp itajjgze/ 
bicntibiwin infinitufingcre nomt/ 
na licet. Ozbo auteo^ naturalis e: 
quotiesbifponuntatribus omnes 
pares atcp iinpares numeri natura 
liter cofttturi:z fub bis aptantur ali) 
quifimtaquinarionumero incipi/ 
entes omnes impares ♦ *bis igitur 

c 



Ita &ifpofItte:ft pzimus pumo: feci*' 
bus fcdortertius tertioit cf teri cf te 
rie coparemrfuperpartiens babitu/ 
bo pzocreatur. ©it enim bifpofitio 
boemobo* 

hi 4 1 f 1 ^ t 7 1 S I 9 I '°1 
M 7 \ 9 in \\} I'f h 7 -l'9l 

e3 tgif quiuarij numeri ab tcr/ 
nariucSparatio confiberemr: 
erit ftippartiens il!c qui rocat fugbi 
partiens/frabet enim quinarius to 
too in fc trcs ? eowm buas partes : 
ib eft- 1 -Si vero ab fecunbu ozbine 
lpeculatto refcratur fupertriparties 
pzopoztio cognofcetur. atque in fe/ 
tjuctibusperomnesbifpofitos nu 
incros omnes in infinitu fpecies 
file numeri coiwenientes ozbina/ 
taftp refpicies.2lt vero quemabmo 
bu finguli pzocreentur fi in infinitu 
quiscuret agnofcere:l)ic mob use 
Id abitubo enim fuperbipartientis : 
fi vtrifqp terminis buplicetur : femg 
fuperbipartiens pzopoztio pzocrea 
tur.Sienimquis buplicet- ? • factcc 
io # fi tree faciet tf.qui. iccontra fe^ 
narw coparati ftiperbipartientem 
faciunt babinibine.t bos ipfos rur 
fus fi buplicauerisnbemozbo pzo/ 
ponionis accrcfcit. 3bem® fi in in 
fmitum facies.ftatu puozis babitu/ 
binis uon mutabit ♦ Si vero fuper / 
tripartientes inuenire contenbas: 
pzimos fupertriparticntes ib eftr. 
et*4-triplicabis z buiufmobi nafcen 
tunSivero qui ejetys nati fuerint 
ternary inultiplicationc pzobujre/ 
risiibemrurfus efficient . Quob fi 
fupcrquabzipartientes quemabmo 
bum in infinitum pzojrebiantur 



opted abbifcerc: pzimas eow rabi' 
cesinquabmplu multiplies licet: 
ib eft 9.et. i*x cos qui ilia mnltipU/ 
catione pzoferentunrurfum in qua 
bmplimureaubem fieri pzopoztio 
neininoffenfa nimirumrationere/ 
peries.£t c^tere fpecies vna Temper 
plusmultiplicatioecrefcentibus ra 
bicibusoriuntur/ftabices autem 
pzopoztionumvoconumeros infti 
perioze bifpofitione befcriptos.qim 
fi quibus omnie fumma fupzabictg 
coparationis innititur.^n \)0C quo 
que vibenbum eftrquonia cum bug 
partes minoze plus injnaioabitt 
funt:tcrtij fempervocabulu fubau/ 
bitur. Ut fugbipaniens qui bxciuxr 
quoniam buas mtnozis numeri tcr 
tias partes babe;: bicatur fuperbi / 
partieus tcrtias.£tcumbico fuper 
tripartiensifubaubirineceffefit fu/ 
pertripartiens quartas : quoniam 
tribus fuper quartis ejruberat. £t 
fuperquabzipartienti fubaubitur 
fuperquabzipartiens quintas ♦ et 
ab eunbem mobum in ceteris vuo 
temper abiecto fuperbabitas par/ 
tes fubaubttio facienba eft. vt eozu 
gcrmanaconuenieutiaquebis no/ 
mina bee fint.vt qui bicitur fuperbi 
partiens:ibcm bicatur fuperbiterti/ 
us. Qui bicitur fupertripartiens is 
fit fupertriquartus/r qui bicimriu/ 
perquabziparticnsitbem bicatur fu 
perquabziquintus .cabemcpfimili 
mbine vfquciu infinitum nomine 
pzobucantur. 

J>c multiplici fuperpar/ 
ticulari. £ap.*9. 




>po:tio 
«iere> 
Temper 

l 

quo 

vm 
iibau/ 
)icwr 
mrer 
?cbi> 

* 

arisvno 

pi* 
fopcrbi 
biwni/ 

Srfi' 




6it relatfabali/ 
quib quatitatis. 
fimplicestpzimf 
fpecies bf funt* 
Cwcvero ali? cjt: 
bifveluteralicib* 
pneipyscoponut 
vt multiplier fiP 
pcrpamcularesrs multipliers fupcr 
partientes.bomqjcomites fubmul 
tiplices fugparticulares: % fubtnulti 
plices fngpartientes . Tlancg inbfe 
vt in p:cbicusppomonibus:mino/ 
res numeri z eoxix quocg fpecies om 
tiesabbita fubppofitione biamt. 
Duozu biffinitio talis rebbi poteft. 
XDultiplejcfupparticularis eft: quo 
tiens numerus ab mime? copara/ 
tus:babet eum plufqua femel z eius 
tnaparte.boc e babet eu aut buplu 
aut tripluiaut quabzuplu: aut quo/ 
tiens libetrr ePqualibet aliqua par 
tem:rel mcbia:vel tertiarvel quarta 
vel qufcunqs alia partiu ejuberatio 
ne contigerir . *fc>ic ergo z mulciplici 
z fuCparticulariconfiftitQuob eni 
coparatu uumeru plufqua femel bs 
bet multiplicis eft* t>oc vero q6 mi 
nozem in babenba parte tranfeen/ 

bitrfuperparticularis^^^W 0 
que nomine facto vocabulo eft. fpe 
ciefq$illius ab illamm fcilicet fiunt 
imaginem pzopomouu : eje quibus 
ipfe numerus oziginem trabit.Tlas 
pzima parsbuProcabuliquf mub 
tiplicis nomine poflerta eftimultipli 
cis numeri fpecicrum vocabulo no 
minanba eft.Quf vero fueparticu/ 
lariseft:cobe vocabulo nucupabit 
quo fuBparticularis numeri fpecies 



tfocabant.&icetenijabuptice b$' 
bueritaliumnumerurreius mebia 
partem.buplejtfefqualten qui vero 
tertian buplcj: fcfquiterti 0 .quiquar 
tam:buplej: fefquiquanus. z beuv 
ceps . Si vero tcr eu m totum conti y 
neat z eius mebiam partem: vel ter 
tiam:vel quarta ;iucitur triples fef/ 
qu alter :triplejc fefquitertius:triplejc 
fefquiquartus.r eobem mobo in c£ 
terc* ibiceturq; quabuiplus fefqual 
ter:quab:uplus fefquitertius : qua' 
bntplus fefquiquartus. z quotiens 
totunumeruinfemetipfo continue 
ritrpermultiplicC numeri fpecies ap 
pellatur.qu a vero partem coparati 
numeri claufcrit: fc6m fupcr partial 
lare comparatione babimbinemcg 
vocabitur. I^ozum autemejtrempla 
buiufmobifunt . J>uplejt:fefqualter 
eft:vt quinq$ ab buo . habent enim 
5 .biuarium numerum bis z ei° me> 
biamibeft. i-buplejtrverofefquiter 
eius eft feptenari 9 ab tcrnarium co / 
paraf\3lt vero nouenarius ab qua 
tcrnariu buplcjrfefquiquartus.Si 
vero- ii -aiM-biipler lefquiquint 0 . 
ft bi femper nafcentur bifpofitis in 
ozbiiiem abinarionumero omnu 
busnaluralitcrparibus imparibuf 
que terminis :fi contra eos omnes a 
quinario numero impares coparen 
tur. vtpzimu p:imo:fcdm fecunbo: 
tertiu tertio caute z biligentcr appo 
nas,vt fit bifpofitio talis. 



W7 



7 | 3 | 9 1 iol ii 



HM?I ii | ■ 3 hf I' 7 "9 |n *3 



0 "5 vero a buobus paribus om 
nibus bifpofitf terminis : illrg 
a gn ario numero icboatcs : gnario 

c * 



numero rurfus fefe tranfiliunt copa 
rent:oes buplices fefqualteros ere/ 
ant vt eft fubiecta befcngtio^ 



3 | 10 | tz | 



10 |iy llTT 



vero a trib'tncboent bifpo/ 
ftrionesrr trib'fefe traliliant:* 
abeosaptentgafeptenario incbo 
antes:fe£tenario fefe numero traf/ 
grebiuntroes buplices fefgtertij \)& 
bita biligeter copar atione riafcunt, 
yt fubiecta befcriptio monet . 
i * 1 « 1 9 |u iiriisjJTT 

| 7 [, 4 1 2ij2S Us 141 149 1 

vero oes in ortunc quabut 
X^plibifponanfcbiqui naturalis 
numeriquabzuplifut.vtvnitatis q/ 
b:uplus:t buoeu: triucfc t quatwn: 
atcp quinarmt cf terom fefe fequen 
Hum ab eos aptentur a nouenario 
numero incboates:fp fefe nouena/ 
riopcebentes:tuncbuplicis fefqui/ 
quartgp ppztionis fozmateret. 

8 I ii | id | 2o | 24 I 



9 i3 I 27 I 25 I 4 f I f4 ) 

e2l vero fperies tyn'tiumeri q e 
triple? fefqualreraboc mobo 
piocreatur : ft trilponanmr a bina/ 
rio numero omnes in ozbinem pa/ 
rearr at> eos feptenario numero in 
<boates:feptenariofefe fupergrebt 
entes:folito ab alterutrumobo co/ 
parationis aptentur. 

1 2 » 4 1 6 I 8 



grebientes ozbtne coparemtia: om 
nea triplices fefquitertij in ea term* 
nozu cotimtationepucnicnu 
1 ? I * I 9 I i* 



10 



20 1 30 | 40 > 




14 I 21 I 28 



0'3 autem a ternario numero 
ingrefficuncros naturalis mi/ 
meri triplices bifponamus: et eis a 
fcenario numero benario fefe fuper 



£>e eo:um ejremp!ts in fuperio:e foi 
mula invicn\en&i$. £ap- 3 <>♦ 

Dunn autem 
eozujcpqui fe 
quunt ejrem/ 
plaitegre pla 
neque poflii f 
mus pernota 
re:li in p:io:e 
befcriptionej 
qua fetim'cu 
be fuperparticulari et multiplici to/ 
queremunvbi ab vno vfcp in bena/ 
rium multiplication^ fumma con/ 
creuit:biligensvdimus acumen in 
tenbere.ab pzimu eni verlu omnes 
quifequuntcollauozbinaras one 
nientefcg multiplicis fperies rebbet 
Si 0 ab fedm cuctos qui tertij funt 
ozbinis aptaueris:o:binatas fpeci/ 
esfujjparticularis agnofces.Odfl 
tertioozbiniquicnncBfunt inqulto 
rerfucoparesifuEpartientis nume/ 
ri fperies politas oncmenter afpid/ 
es.tfDulnplej: vero fueparticutaris 
oftenbit:cu ab fecubu verfu omnes 
g fut quinti verfus ferie copar ant vt 
g funt in feptimovclg funt in nono 
atcp ita ft i infinitu fit ifta befcriptio 
in infinitu b«i 9 ,PPo:tionis fperies p 
creabunt.ZlDanifcftuautc ctii Y>6c 
eft:qd bozu comites femjj cu fub p/ 
pofitionebicentur.vteltfubbuplejc 



refqualter :fubbuplejt fefquitertius. 
fubbuplejc fefquiquartus. z cfterifl 
bemabbuncmobunu 

fcemftiplicifuEpartiente. JCap.ji 




Xlltiplej: vero fug 
partienseft.quoti 
! ens numer°abim 
jmcru coparat?ba 
bet in fealiunume 
rutotuplufquare/ 
WliTei'veltmas 
vel.$.felquotUbetplure8 partial/ 
las:fcdm numcri fuppartientis figu 
ram . 3frbocquocBpzoptercaufa5 
fuperius ^icta no enmt bue mebie/ 
tatestneqjbuf qrtf: netpbuf fejrtf: 
feb buf tertif .Trbu^quintf : vf buf 
ftptim?abpziozcfimilc confequen 
tia.Tl6 eft aut biflRcile fedm pziozuj 
cjcempla pofitop : bos quocp z pzf / 
ccr noftra ejrempla numeros inue' 
nire.aocabim6cpbift6m pzopzias 
partcs:buplc]cfu2biparticn8;vl' bu 
plejcfugtripartieii6:velbuple)c fug/ 
quabziparties, £t rurfus triples fu 
pbipartiens:? triples fuptriparties: 
x triplejcfugquabziparties:* flmilif 
CttiS.ab- 3 -coparati faciut buplicej 
fupbipartiente.T* itf.ab.tf.tomnes 
quicucp ab-Sincipietes : octonarto 
fefenumero tranfgrebiunt: copara 
ti ab cog qui a tribus incboates ter 
narij fefe quanritate ptereunt ♦ Tlec 
eritbifficile alias eius partes fedm 
pbictumobubitigentibus reperire 
iDicquocgiUubmeminiflfe bebem 9 
q6 minozes z comites no fine fub 
pofitidenominant.rtfit fubbuplejc 




fuperbipartiena : fubbttple* fuper/ 
tripartiens* 

fcemonftratio queabmobuomnfo 
inf qualitas ab gqualitate pzocef/ 
ferity JCapitultH** 

£ftataute no^ 
bis ^fubifliina 
quanba trabe/ 
rebifciplina$:q 
ab omncnatu/ 
revimreruegtit 
tegritatemajci/ 
_ ma rationed 
neat.zr>agnus qutppe inbac fcien 
tia fructus eft:figs no nefciat qd bo 
nitas biffinitae rfub fcietiacabes: 
animoqjfemeimitabilis tpceptibi 
lispzimanaturaefhetfuf fubftatif 
becozegpetua* ^nfinitixvero malt 
ci£ bebecus eftmullisjjpzijs pzinci/ 
pije nijriiifeb natura errans a bo 
ni biflfiniiioe pzincipij : tancg aliquo 
figno optimf figurf impzelTa copo/ 
nif ;t eje illo errozc ftuctu retinet *Tla 
nimia cupibitate : irj eg immobica* 
eflfrenatione-.quafi quibarectoz ani 
mus puraftelligetia robozafaftrin 
git.tbas quobamobo incqlitatis 
fozmasteperatabonitate sftituit. 
t>oc at erit pfpicuu:fi ftelligam'oes 
in^qlitatt fpectes ab $ qlitatis creuif 
fepmozbijs:vtipfaqdamobo £qui 
tas matris z rabicis obtinens vim: 
tfa oes in^qlitatt ftecies ozbinefcg 
^funbat.Sint em nobis tres £qles 
termini ib eft tres imitates : vf- * biz 
ni : vel tres terniivd tres qterni: vel 
quatos rltra libet ponere.06 enim 

c ? 



to Mis rribus treminia eitcttitobem 
contingit in cgteria,£jc b's igtf ft&5 
{fccptinoftri ozbinejvibeas pumu 
nafci multiplicea: et in bis tmplices 
pnua:bebinc triploe: beinbe qbui 
plos :t ab eunbe ozbine ofequetea. 
T^urfue multiplicea fi coucrtant : ejc 
bia fupparticularea ozient.r ejc bu/ 
plictbuf quibc fefqualteri: ex triplici 
bus fefquitcrtfref quateuplja fefq^ 
quarti:* ceteri in bunc mobu. £jc fu 
perparticularib*vcro couerfia fuper 
partietea nafci necefle£, itavtejcfcf 
qualtero nafcat ftipbipartiens : fug 
tripartiente fefquiterciua gtgnat : et 
ejc fefquiquarto fupquabzipattiena 
"Rectia acit pofitia nccg couerfia p:i 
ozibua fugparticularibue multiple 
cce fuperparticularea ozuirit /Rectt 
veto fuperpartientibua muitiplices 
fuperparticntca efficientur ♦ / 
cepta aut tria \)cc funtutt pzimu mv 
meru pzimo f aciae p arem : fcdm o 
pzinio? fcdo:terciupzimo buob'fe; 
cubis z tcrcio. Idoc igif cu in termi/ 
ma f qualibua fecerie :ejt bia qui na 
fcenf buplicea erunt.ke quibua btt 
plicibua fi ibem fcceria: tripliceajv 
creanf/r be bis quabzuplices.atqsi 
infinitu o£e fozmaa nueri mttipticef 
e jt:pticabit:iaceat igif* ? .fmini gqtca » 
1*1 i I t 1 

eOnat itacp pzimo pzim'fqua/ 
lis ib eft vnua. Secubue vcro 
piimo t fecubo it> eft. * . tertiua vero 
pumolmobuefecubia ttercio par 
firib eft vnir&uobuf vnia * vni.qd 
funt-4-vt eft befcriptio. 



03frefnevtbuplici p:opo:tioe 
fequea ozbo tejcatur.^acrur' 
fusibernbe buplicibuavtfit pzim* 
pzimo fqualiarib eft vni ♦ fecunbus 
piimo z fecubonb eft vni z buobua 
qui funt- 3 • tertiua pzimo ib eft vni 
tmobua fecubia ib eft-4- r tertto i& 
eft quatuoz. qui fimul-9-fiunt:et ve 
nitbecfozma* 



i i 



■ I 3 



BClrfus (i be triplicibue ibe fece 
rte:continu' > quabzuplua pzo/ 
creabitur • Sit enim pzimua pzimo 
fquusibeftvnus.fitfecunbua pzi/ 
mo z fecubo g quatia ib eft^fit ter/ 
ciua pzimo buobua fecunbis et ter/ 



1 ' 


1 


1 l 1 


1 • 


2 


1 4 I 


1 ' 




i 9 1 


. 1 ■ 


4 


I 1 



1 4 I 



0X in ceteris quibe ab banc fo: 
matribus bia pceptia vtemur. 
Si vero qui ejc f qualiboa nati funt 
multiplicea eoa bifponamua:? fecu 
bum bf c pzf cepm rertamua : ita vt 
conuerfo fintozbine:fefqualter fjc 
buplici pzocreabitur * fefquitercius 
ejr triplici.fefquiquartua cjcquabzu 
plo.Sint enim-)< buplicca termini 
qui ejf f qualibua creati funt z qui vl 
timus eft pziin ° pon 4tbuiufmoN . 

I 4 I » I » | 
ftconftituaturpzimoinboc ozbi/ 
nc pzifnua par ib cft-4 fecubufvero 
pzimo z fcdo par:ib effctf . terti^o p 
mo buob 9 fecubis t tertioib eft^* 




in' 
tow 



fcce 
pa/ 
nmo 

ittcr/ 



MM 

imini 
quul 



ufvcro 



1 4 




> 1 


1 4 1 


6 


9 1 _ 



£ cce tibi iilafefqualtera quantitas 
ejc termino tmpltcitatt ejcoritur. Lli 
beamus nunc al> cun&emmotm ejc 
triplici qui nafcatur.&ifponant eni5 
triplices fupcrio:cs:couerfo fcilicet 
o&ine ficut buplejr.tyceft quc*p oi 
bo bifpofitug. 



9 I * J 



•fconaturergo pzinVpiimo £quus 

i& eft.9-feambueprinioetfcam&o 
ibeft. i2.tertiU8pnmo&nobit0 fe/ 



1 9 


a 1 > 1 


1 9 


.1 | ,6 | 



cularis numeri to eft fefquiterrius 
pzocreat?clt. Quob ftibembequa 
biuplo quis facere velitifefquiquar 
tus continue nafcetur. « monfira/ 
bitfubiecta &efcriptio* 



i i6 1 4 ri r 



Si fiquie idem fce cunctis in inftni/ 
turn partibue multiplicatis faciat: 
<onuenienter ozbinem fuperpani/ 
cularitatis innemet.Quob ft couer/ 
Ibofupcrparticularesaliquis fedm 
f){c pzf cepta comtertatrcontmuo r i 
beatfuperparrientCG accrefcere.et 
cjcfefqualteroquibem fuperbiparti 
ert«:ej: fefquiterrio fupettripartiens 
piocreatur. -rcj ten fedm comunee 
Denomination fpedes finetflla oi 
dinis inwpolatione nafecntur^i^ 

ftonanturigiturfic* 

I 9 1* 1 4 1 
Supcrwi^igitur&cfcripriOFUs pzi 



mo p:im 9 f quits mtmeros afcribat 
to elt.9*fccuDu6 vcro pzimo z fedo: 
i& eft. i f.terciua vero pumo:&uob* 



1 9 


1: * 




! 9 


'5 





vertanut9:ozt>o fupertripartiens in 
uenitur.fitcntm puma pzopoRtio 
f efquitercij* 



16 



IX 



•ponatur fectmt>up:io*em mobu5 
pzimoparpjimusifceft. itffecubuf 
pumoX fecunbo i&efl- 1 3-tcrci 9 piu 
mo tuiobtta fecunbis z tcrcio ib eft 
49-Omni8ergo(uma bifpofita fu/ 



1 '« 


ii | 9 




1 •« 


28 | 49 





fupqbziBtico flat! qntitae^creabin 
vt e ca fovma qua5 fuppofita vibes . 
1 *r I io I '* 1~ 
I iy I 4t 1 8i 1 
•Reftat qucabmobu cj: fugparticu/ 
larib 9 * fugpartictib' mftiplicee fug 
particulars itFmttltiplicca fugpar 
tientes nafcant oftenbere. Quopbt 
nae tantu facia befcriptioes. Tlacg 
fi rectu z no ouerfufefquaUcru potii 
muei&uplejc fueparticularis epcrc/ 
fcitJitenitnbocmo&o^ 

[ 4 1 <* i 9 I ~ 
*0onat fedmfupcrioze inobu jjmo 
pzim?f qualie ii> ett^fcevbus prno 
tfafoi&dl- io-tcrti°pzimo &uob^ 
f ecubie z tcrcio f qualis it> eft-i f - 
14 1*19 1 



C 4 



^£Y£que b^cqnibcm bupleje fef/ 
^Lquattera fumma pzobucta'eft. 
Sitcro fefquitertiunon couerfum 
ponamus;buplus fefquitertP inue^ 



I 9 


1 «x 


1 <« 




1 * 


I *■ 


1 49 





^1 mu conuertamuf;eof<£ o:bina 
timfcdmfuperiozapzecepta bifpc 
namus:mtUtiplices fuperpartientef 
oz^imtijpQcnitof reperiem 9 . £>ifpo 
natemfuperpartietf bfcftnmula. 

1 9 I iy I iy t 
*Qf Scribaturergo pzimus peimo 
ML^quue ib eft.9©ecubU8pmo 
t fcdo:ib eft- Z4*tertitt8 pzimo buo/ 
bug fecubte t tertto ib eft»<?4» 







■f 1 2f 






N- 


*4 1 «4 





tebuplusfuebipartiens ejro* 
tus fit. veto fx fuptripartiente po 
namrbuplejr fine inibio tripartiens 
'umeiittitr vt infubiecta befcriptione 
perfpicuumeft. 

~ 1 . 1" *» 1 49 I ~ 

I Itf | 44 1 1 

0jfc ergo De fugparricularibus 
vel be k fuppartientibus multt/ 
plicea fujjparticulares mltipfices 
fugpartienre* oriunf.f&uare coftat 
ommuutf qttalitatu eqlitate ee pn/ 
cipiu.ejceabeineniinfquaUa cucta 
nafcunt.2lc be bis quibe bactenus 
biflerenbu eflfe crebibim*ne vd infi 
nita fectemurrel circa res obfeurif/ 
fimasingrebientiuanimos betine 
tes;ab vtiliozibus mozaremur. 
finit liber p:imua. 



i 3focipiunt capitula libzi fecubu 

£ueabmobu ab equalitate omnia 
infqualitasrebucat. ZTapfm* n 

^iimenienboinv>noqttoq$ mime 
ro quotnumeros eiufbem pio/ 
poztionts poflfit pifcebere: eom/ 
que befcriptio befcriptionifcp eje/ 
pofitio. JCap^* 

£luob multiples interualluejc qui/- 
bus fuperparticularibua mebic/ 
tare pofita interuallis fiat: eiufcjj 
inuenienbi regula . £ap • ? • 

iieperfeconftantequantttate quf 
in figurisgeometricis confibera 
tuncomunts ratio omniu magni 
tubiuum. £ap-4- 

feenumerolineari. £ap.f. 

£>e planis rectiliueis figuris : quofc 
queearumtriangulum pzincipi/ 
umfit. £o$*6. 

fcifpolitio triangulozum numero/ 
rum. 

fcelateribustriangulowm nume/ 
rozum* iCap-S- 

fcegeneratione triangulozum nu/ 
merozum. £ap-9* 

£>e quabzatis numeris. £rp- io. 

£>c coin lateribus . jCap. 1 1 * 

fee qbutop numero? gnatioe : rur 
fufcebeeojzlaterib 0 . £ap* u. 

fee pentagonis eozumque lateri / 
bus. Xap-ij. 

J>e gnatioc pctagonop. £ap. 14* 

£>e bejeagonis eozumqj generation 
nibus. £a£-ij* 

fee b^ptagonis eoy<$ generation!/ 
onibus:t comunis oiu$ figurant 
fnueniebf gna tionis regula be/ 
feriptioifep figurap. ^a^ 1 6. 




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Images reproduced by courtesy of the Biblioteca Nazionale Centrale di 

Firenze. 

Magi. A.6.22 



feefcriptio.figuratozum numerozu 
in ozbine. Cop.**. 

duifigurati numeri ejt:quib*figu/ 
ratis numeris fiat : at<£ qd trian 
gulus numeriis omniu reliquojr 
pzincipiufit. Cap. i9* 

•fcertines ab fugurato? numerozu 
befcriptionefpeculatio.Cap- 19. 

fcc numeris foltbis. Cap. 20. 

t>eppramibequobeafit folibaroj 
figurappzincipiuficut triangul 0 
planarum. Cap* 2 "- 

i>e bis pjramibis quf a quabzatis 
uel ceteris multiangulis figuris 
,pficifcunt. Cap. 2 2. 

Solibo^ gfiatio nuerop* Cap. 2 5 ♦ 

fcecurtispjramibis. Cap.24. 

ibecubisvel afleribus rel lateral/ 
lis: uei cuneis vtfpberirisrvelpa 
ralleltpipebis numeris/ Cap. 2 5 

fce parte altera longiozibus mime 
riseojzcggffationib*. Cap.2tf. 

ibe antelongiozibus mimerfe : z be 
vocabulo numeri altera parte 16 
giozis. -Cap- 2 7. 

duob eje imparibus quabzati:ejc 
paribus parte altera longiozes 
fiant. jCapiS- 

fcegeneratione laterculop eozucp 
befinitione. Cap. 29* 

fee circularibus uel lj?bericis nume 
ns* Cap. 30. 

fee ea natura reruj qug bicit eiufbe 
naturf :z be ea quf t>ictt alterius 
namr? : z qui numeri cui nature 
c&unctifunt. Cap.$i • 

Quob omnia ejeeiufoem 'natura z 
alterius natura coftftant: ibeg in 
numeris pzimuviberi. Cap? z - 



£jc eiufbem atque altertos nttmeri 
namra:qui fut quabzatus z par/ 
te altera longioz : oes jpomonft 
babitubines oftare. CajJ ♦ 3 3 ♦ 

Otiobcjtqua&zatis z parte alters 
logiozibusomnisfozma? ratio 
confiftat. Cap. 34- 

duemabmobum quabzatiejepar^ 
te altera longtozibufrvel parte a! 
tera longiozes eje quabzatis fi/ 
ant. JCajMr* 

0uob pzincipaliter eiufbem quibe 
fit fubftantif mitastfecunbo ve/ 
ro loco impares numeri : tertio 
quabzati.t quob pzicipalif bua^ 
litas alterius fit fubftantif rfecim 
bo $0 loco pares numeri : tmio 
pte altera logiozes. Cap. 3 6* 

2Uternatimpofitis quabzatis zgte 
altera lougioubus quifit eozum 
confendxs in bifferenti)8 z in pzo 
poztionibus. Caj?-37* 

Ibzobatioquabzatos eiufbem efle 
natur?. Cap-jS* 

Cubof eiufoe pticiparefubflatif qd 
ab imparib 9 iiafcant . Cap. 3 9+ 

£>e,fpoztionalitatib 0 Cap-4o» 

Ouf apubantiquos pzopozttona/ 
litas fueritiquas pofleriozes ab 
biberunt. Cap.41 ♦ 

Quobpzimubeeaquf Vocat arid) 
metica pzopoztionalitas bicen/ 
bum ell. Ca^4i* 

ibe aritbmetica mebietate: eiufcgj) 
pzietatibus. Cap-4*- 

£>e geomctrica mebietate; eiufcp f p 
pzietatibus. Cap-44* 

£iuf mebietas quib* re? publicaru 
(tatibus comparent. £a£ -4f • 



&uobfuperficicsvna tenth inpto 
pomonalitatib'mebictate inn/ 
gam . folibi! vero numcri tuiab 9 
mebietatibiis in mebio collocan 
tun XTajM*. 

fcearmonica mebietateeiufig p:o 
pztetatibus. £afM^ 

Quare Dicta fir armomca mebictaf 
caqufbigeftaeft, £ajM 8 * 

i^geomctricaarmonia* £ap* 49* 

£ucabmobu conftitutis altrinfc/ 
cua buobus termini*: aritbme* 
cararmomcaintereos mebie> 
tas alternet.a:que beeozum ge/ 
ueratiombus* £aj>- * o. 

fee trib' mebietattb'q armonjc? ct 
geometrice:>trari£fut. JCa&fi* 

£>e qua tuoz mebietatibus quae po 
fteri ab tmplenbum benarium U 
mite abiecerut. £ap, 5 1 • 

Jsifpofitio bece mebietatu.£ap- 5 3 

fcemajrima'r perfecta fpmpbonia 
qu£ tribusbiftenbitur internal/ 
lis. JCap-H- 

finunt copitula 



3fnripitUberfecunbU8. 



Quemabmobu ab f qttalitatem 
0i8 ingqualttas rebucat . £ap- 1 • 

■ ape 




incqualitatf fubftatiaapiincipefui 
generis equalitatej?ceflerit. Seb q 
re? elemeta fut:ejc eif be pzincipalif 
oiacoponuntrr in eabe rurfus refo 
lutione facta refoluunt. Lit quonia 
articularis rods elemeta funt littc/ 
re:ab eis eft (y UabaEpgrefTa coitm 
ctio:? in eafbe$rurfU8 terminaf ej> 
tremas.eanbccg vim optinet fonuf 
in muftcis.3(atfo mnnbuj«4Coqja 
no ignozamua efficere. Tlacp ut ait 
ejcimbzi terraqj afa gignum x igni. 
feb in bee rurfue eia8*4-eiemeta fit 
pollremarefolutio . Jta igit qinejc 
cqualitatia margine cuctas incqua 
titatis fpeciea p:of icifci ?ibem*:oi8 
anobiemcqualitas abfqualitate 
rurftis velut ab quobba etementuj 
P*opnj generi8 refo!uaf.t)oc antes 
trina rurlte impcratione coliigif* 



eacg refoluenbt armaria quibkflt/ 
bet tribus terminis inequalib 0 qui/ 
bemrfeb pzopomonaiiterconftitu/ 
tisjibcftrutearibcsmebius abp:i/ 
tnuvim pzopoztionis optinqatrqua 
qui eft ejrtremus ab mebiu in qua!i 
bet ingqualitatis rone:vel in multi/ 
plicibus :vcl in fueparticularib ,, :vel 
in fugpartientib^vel in l)ie qtif ep 
bie p:ocreant:l>oceftiittiItiplicibuf 
Ripparricularibus :reimultiplicib* 
fufcpartiemibus eabem atcp tna ra 
tioneinbubitataconftabit,l>:opo 
fiti8enimtribU8 utbictu eft termi/ 
nia f <iai8j5poztionibus ozbinatis: 
rltimii femg mebio betrabamus : z 
rpfum quibem vkimu pzirnu termi/ 
nucoUocemua.quob be mebio re/- 
linquitrfecunbu.fcetmiarerojpo 
fitop terminop fuma.auferem'vnu 
pjimurbuosfecunboseoa qui be 
mebictate relicti funt . z ib quob c]c 
tercia fuma reliquit: terciu terminu 
coftituemM^ibebis igit boc facto 
in minoie mobum fumas reuerti :z 
ab pzincipalioec babitubine copa/ 
ratioee^ppomonefqs rebuci.ut ft fit 
qua&*uplap*opoz:io:p:imo abtri 
plam:inbe ab bupla: inbe ab cqua 
Urate vfqueremeare.£t ft fitfuper^ 
patticularis fefquiquartusrpumo 
ab fefquitercitr.inbe ab fefqualtep : 
poftremo ab tree £ qualef terminof 
rebire/Doc autej no5 exempli gra/ 
tiainm»|ttpUdtantum p:opo*tio/ 
nt bocetrimua . ©ollertem vero in 
etija que que ingqualitatis fpecieb* 
ib ejeperientem : eabem ratio pz?/ 
ceptozum iuu^bit- £onftituantur 
enimtrce ab fe termini quabwpli. 



H 



S I iz 1 n8 | 
Clfer igit ejc mebio mxxxoic : tb 



_eft ejc trigintabuobua octona 
rm:rclmqutmf.24- 1 pzimu octona 
riu terminuponeeifecubii tfo quob 
reliquum fuerit ejc mebio:ib eft- 14 
utfintbibuo termini -S.et.24. 
tertio vero : ib eft. 1 2 3 . aufer vnum 
p:imu:ibeft-S.tbuo8fecub08 qui 
(ut reliqut :ib e bis^.-r relinquunt 
72 /fris bifpofitte terminis: eje qua 
bzupliejpinquio* fquitatifpoztio 
tripla rebacta e. Sut em bi termin i 

I 8 I 24 1 71 I 

e3E bis aut *P fie i&em ft fecerie : 
ab bupluj rurfus comparatio 
remeabit/jbone enim pzimu minp 
ri f quum:ib eft. S . t eje fecunbp au/ 
ferpzimnm.i tf.relinquent.Sebejc 
tertio ib eft eje 7 i-aufer pzimum:ib 
eft-S.-rbuoefecuboeubeftbie- itf- 
t erit reliqua pare, j 2.jQuibu8 poll 
tie at> fcuglae p^opoztionee babitu 

bo rebigit, 

1 3 1 I 92 j 

Ifc>em vero eje bis ft fiat.rem om 
ne$ ab f qualtt arid fummas f li 
quabimus.iSoneenij pzimum mi/ 
noufquum:i&eft.S.Vaufere)t% 
octonariu remanent. 8. quibus bif 
pofitis: eje tertio ib eft -3 2. fumptie 
pumo.ibeft .8. t tmobue fecunbis 
it> eft octonary8.fuBfimc.8 . Qi\ib° 
bifpofiti puma nobis f qualitae ca 
bit.ut (Ubiectp fummu le bocent. 
I 3 j 8 1 8 | " 
Sfnc igif (i quie ab alias in?q/ 
ilitatis fpecies animum tenbat 
eanbem conuenientiam intitubanf 
inucniet-0uarep*onuncianbucft: 



1? 



nec vlla trepibatione bubitanbum 
quob quemabmobum per fe con/ 
ftantts quatitatis vnitas pzinciptuj 
* elementum eft :ita z ab aliquib re 
lat? quatitatis f qualitas mater eft* 
kemonftrauimus enim quob bine 
z eiU8,pcreatio peima fo:et:z in eaj 
rurfue poftrema folutio eft. 

&e inuenienbo invnoqixocp nu 
mero quot numeros attfoe^oitto 
nis poffit p*eeebere : eowcp befctv 
ptio:befcripa6ifcp ejepofitio. £a- 2 . 

Staut qufbam 
iubac repzofun 
baTmiribafpe 
culatio tut ait nt 
comacb'ennoeo 
pbaton tbeoic / 
mapficies /Tab 
platonicam inti 
meo animf generationc.r ab inter 
ualla armonicf bifciplin£ : $bi eni* 
iubemur^bucere atcg ertebere tref 
ucl quatuoz fefqualtcros :vf quotli / 
bet fefquitertias^fpottioes :z fefqui 
qrtas cogationes.eafcg; fcdmjpoft 
tu oebine fepe stinuas iubemur eic 
tenbe.Tle aut boc labo*e quoba fg 
gbe ma#o:frequenti 9 infcraci fiat: 
bac nobis rone i quot nueris quati 
poffint efle fugparticulares meftigi 
bu eft . Ocs enl multiplices tanta? 
fimiliumfibimet ^oztionu'pzinci 
pee crun t tquoto ipfi loco ab vnita 
te bifceflerunt.Quob autem bico fi 
bimct fimiliu:tale eftrut bupli fern/ 
per multiplicitas ut fuperius bi ^ 
cttiin eft fequalteros creet. z triplejc 




II 
It/ 

id 



: 



no 



fin 

M 
irni 

mi 

5 

retro 

am 

to: 
aid 
fti 

unci 
*i> 
icofi 
fenv 

iS' 



fit bujefefquitettiomj: quabzuptua 
fefqiiiqtiartt. t>iimus ergo buplejc 
vnu rolubabebit fefqu4lteru.fccuu/ 
ous buos.tcrtius tres.quartus .4- 
* fedm ljuitc oebine eabc fit in infi * 
nttum pzogreflio.Tlcq; vnqua fieri 
potmtuelfupetjpomonu numeru 
velabeofit beminutio* gquabilis 
ab vnitate locatio/jMtm 9 ergo &u/ 
plejrcft binarius numerus :qui vnu 
fotum ft fqtialte? rectpitat) eft tcrna 
riu.Binariusenimcotra ter^ariuj 
coparatus fefquattera'efficit^ppo:/ 
tione.Xernarius \fo quonia mebie 
tate 110 reciptt:no eft alter numeruf 
ab que in rationefefqualtera copa 
ret.Ouaternari°tf 0 numerus fecti/ 
bits buplus eft^ic g^uoe fefqual/ 
teros pzeccbit . £ftenim ab ipfum 
quibe coparatus fenarius numer* 
ab fenariu v ; o quonia mebietatem 
babet.noucnan 9 .? fiitbuo fefqual/ 
teri.ab.4fcil1cet.tf.ab fejc^o^-Tlo 
nenari«8 \?o quonia mebietate ca/ 
ret: ab I;ac comparione fedufiw eft 
Xertius jo buplejt: eft. S . bic ergo- * 
fefqua'tcros antecebit . JComparat 
enim at> ipfum buobenarius ntttne 
rus.abbuobenariu. is.ab. iS.rur 
fuf.27.2lttf 0.2 7.mebiocaret.3(be 
quocg in fequentib 0 euenire necefle 
eft.quob nos aim p*op;ia ozbina^ 
tionefubbibimus . Semgeni$boc 
Muinaquabauecbumana contti/ 
tuttone fpeculationibus occurrit:ut 
quotiefcucg vltimus Humerus inue 
nit : qui loco Jmplicia ab vnitate fit 
par.talis fit twin mebictates biuibi 
fecariquenonpoflit. 



Xatftnbo 





4 


3 1 16 | 32 




6 


12 | 24 | 48 


an 


9 


iS { 36 j 72 


gu 


*7 1 54 f 10S 


la | Si | i6i 


ris | 243 



1£>em contingit etiam in tripltci 
bus.ejc illie enim fefquitertijjv 
creanf. Tla3 quonia pumus triple* 
eft ternarius numerus : babet vnuj 
fefquiterc u:ib eft^Xuius quater^ 
nari; tertia ps no pot inueniri : atcg 
ibeotyc epftrito caret . Secunbua 
tf 0 qui eft noue babet a& fe buobc/ 
nariu$ nurnqz fefquitertiu.fruot*/ 
nanus aut quonia babet tertia gte : 
in fefquitertiajjpoztioecompaf aJ> 
eum numerus febecimrqui tertie 
lis fectionefolutus e ♦ Uigiittifepte 
aut quonia tertius eft triplejribabet 
ab fe fefquitertium trigintafejtr.t bic 
rurfus ab quabzogintaocto eabem 
,ppo:tione coparat. £ui fi fejtaginta 
quatuo: appofiti fuerintteanbe rur 
fus vim.ppoztionis ejplebutQttoa 
fejragintaquatuoz a&nullu fefqui> 
terciu rurfus aptabis:quoni a parte 
tertia no tenent .3ttque boc in cmv 
ctis triplicibus inuenif : rtmremuf 
eiulbe5 p:opo:tionis numerus tart 
tos ante fep*ecei>etes babet:quan 
to pnmus eo? ab vnitate bifceflerit 
£t qui tot fup fe eiuf be pportionid 
babueritnumerosquotus abvnls 
tate'pzinius eozum iacet: eius para 
quailli compatus numei^pofliteo> 
be facereppoztione inueniri neqat 
£t triplicis quibe b£c eft befcriptia 




1 i 1 * 1 9 1 17 1 81 


143 1 


Ml 1 **l »o$ 


3*4 


aiP J \6 | 48 1 »44 


43* 1 


gU/ | 64 | 191 


*7(S | 


U' 1 M<* 


1 768 I 


ns 


1 I024| 



H% qua&:upli fcdm Ijsc foanaj 
fcefcriptioeft:at> quamfcilicet 
qui apeicmbus mftntct 9 accefierit : 
nulla rone trepibabitrr &e ceteris 9 
fcemmultiplictbus ean&emconue/ 
nientiapernotabit. 

Xatitut>o 



1 1 1 4 1 i* 1 *4 1 


1024 


| 5 | 20 | So | 320 


1280 


ah/ I 2 f I ioo| 400 


1600 


SU/ | I2^| fCO 


2000 


la/ | tf2? 


2500 


na 


3 »*5 



~|>%3fac fl U0C B prptam eft:fugpar 
JBc ticulariu queabmotmj piius 
oftcnlu eft:p:imos efle multiplices. 
SSiquibe i>uplices fefqualterositri 
pikes fefquitertios: z cucti mulripli 
ces mnaos in oibini fupparticula 
res credt • £ft cti a in bis T>oc quocg 
mir abile . Haque vbi pzima latino 
bo fuerit t>uplej:: z fub eifoem g fut 
verfus continui alternatim pofiti : 
febm (eric latitubmis tmplices erut 
Sit 0 fuerint triplicesrr inferiozes 
oiiunes tripla fe i fuis terminis ml/ 
tiplicatione fupabut. Mt in quabzu 
plaqua&zupli .at<£bocirifinita&u 
ctu fpeculatione non fallit.#ngula 
res atlt omniuj multiplices euenire 
neccfle eft. £rum aut bupliciu qui/ 



t>c tripUces! tripliciu qwbiuplicce 
quat>zuplo:u$ to quincuplK* (c6m 
can^em oz&inis incomutabile* ra/ 
tione fibimet cucca cofentient* -Qui 
bus ejtrpofttis ab fequeteopis ferie 
copetens bifputano couertat. 

Ouobmulttplejt interuallumejc 
quibus fugparticularibus mebieta 
te pofita interoallis fiat: eiufcg inue 
nienbi regula. £ap-j* 



3(igit&U£pzim£ 
fupparticulares 
fpecies coniun/ 
gantrpzimafpe/ 
tics multiplicity 
tif ejrozit . Dmnif 
m&uplejcejcfef/ 
qualtero fefquitertiocp componit :t 
* omnis fefqualter z fefquiterti 0 i>ti 
plicem iungtmt . Tlam ternari 0 fef/ 
qualter eft tmcuu : quatuoz vero fef 
quitertius ternary • feb -4- buplus 
buomm. 





1 * I 3 1 4 1 

fefqualter fefquitcrti' 

CX 3fcigit fefqualter z fcfquiterti* 
^•/vnu buplicc componut^at v ; o 
fi fuerint medietas z buplus:ini tut 
pliccj z mebiu pateft vna me&ietas 
talis inueniri:<Jtt£ at) alteram ejrtre 
nutate fefqtialterafiub altera fef/ 



I? 
ki 

an 
to 

N 



5 



Qtutettia . &Itrinfecueetrimpofitie 
fenario z ternarfoiib e buplici % me 
bietate: fi quaternari 9 in mebio col 
locet:ab ternariu mimeru fequitef/ 
liam continet rationem:a& fcnariu 
tfo fefqualteram. 




buplus 



1TT41 



fequiterti? fefqualter 

R£cte igitur bictum eft: z bupli 
cema fefqualtero fefcjuitertio 
queconittngi: rbas buaa fugparti 
cularie fpeciee buplicempzocreare 
iS eft prima (Jreciej multiplies quS/ 
tttatis /Rurfus q: pzima multiplicif 
fpecie:ib eft ex buplici : r peima fug 
|iarticiUari:i& eft fefqualtera comb 
ties multiplier fpecies : ibeft trip la 
coniungif. Tlacg. 1 2 .fenarij nume/ 
ri buplus eft :becem vero z octo ab 
buobenarium fefqualter : qui ab fe 
narium nume? tripius eft. 



f 



tripliw \ 



, 6 



1 

buplus fefqualter 

£|Xpofiti8eifbem*tf.et* iS.no> 
^C^uenarius in mebietate ponat* 
crit ab fen ar mm fefqualter : qui at) 
iS.fubbupluseft/iabfenarius. i3- 
tripluseft. 



Ah 




i 

fefqualter tmplus 

ed£ buplici igit? fefqualtero tri 
plejc ratio pjopomomo ejeozit 
z in eas rurfus refolutione faaa re^ 
uocat.Si autes b*cib eft triplua nu 
merits qui eft fpecies fecunba muU, 
tiplicis fca\n&$ {peciei fugparticu/ 
laris aptef^uabruplicontinuo fo*. 
ma contejrif k in eafbem rurfue par 
tes naturali partitione foluef: fa5m 
mobum quern ittperius bemonftrii 
limit** 




triplus fefquitertP 

03freroquabmplusfefe acftf 
quiquartus agglomeret:quu* 
cupluscontmuofiet. 




1 4 1 16 1 2o~7 

kJO : 

quab:upl* fefquiquan' j 

eXd gnaipluscu5 fefgquimo: 
mojc fefcupli,ppomo siugabit 



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1 





quincuplus fefquiquint* 
TjfXm ita fcdm bac ,pgreflionem 
^Lcunctf multipUcitatCfpeciesfi 
nc vllaratiozbinis gmutationena 
fcenf. 3f ta o ut bupluf cu fefqualte 
ro triplicc erect, t triplus cu fefqui' 
tertio quabzuplu-quabzuplus cum 
fefquiquarto qutncuplil z cfteri eo 
be mobo ut'nullus bac cotinuatio/ 
nem finis tmpebiat* 

fceefecoftantequantitate que in 
figuris geometr icis confiberat coia 
ratio oiuj magnitubinu. JCap-4- 

£c quibembe 
quatitate qua; 
fedm ab aligb 
fpeculamur ab 
£fens bicta fuf 
firidt. Tlucaut 
in bacfequctia 
que bam beea 
quantitatcquc 
gfeipfas conftat nequeabaliquib 
refert ejepebiam . quj nobis ab ca 
pzobefle pofltmtiquf poll b?c rur / 
fus berelata ab aliquib quantitate 
tractabim 9 . #mat enim quobamo 
bo matbefeos fpeculatio alterna,p 
bationu rartone conftitui. Hue aut 
nobis be bis numeris fermo futu/ 
rtis eft: qui circa f ignras geometric 




caa rea^fpacia bimenfionefgfcr 
fanubeft: belinearibus numeria : 
z be triangularib 9 uel qbzatis:cfte/ 
rifcg qs foia panbit plana bimenffo 
necnobeinfqualilatep copofitioe 
coniunctis.jbe folibis etiam:ib eft: 
cubisrr fpbericis uelpjramibis:la 
terculisetiamueltignuiia tcuneia 
qu£ omnia quibe geometric? p*o^ 
piie confiberationia funt . £55 ficut 
ipfa geometric? fcientia ab aritbme 
tica velut quaba rabice ac matre p 
buctaeft: itaetiamcius figurprum 
femina i pixims numeric inuenim?* 
^lanufiquibejferimus quoboea 
bifciplinas bfc interempta confu/ 
memquasminimecoftituta infir/ 
maret. t>oc aut cognofcenbum eft 
q6b?cfigna numerop poflta quf 
nunc quocg b°roines in fumaro be 
fignatione befcribunt : no naturals 
inftitutione fo:mata funt M eni qui 
nary fubiecta nomla fxgnant be-v*. 
velbenarij quam befcripfimns be 
jc- et alias buiufinobi : non natura 
pofuinfeb vfus affinjeit. Quincgeni 
rel bece vcl quotlibet alios: illis no 
tviHsp compenbto notarc voluerut 
nequotiens vnitatesquismoftra' 
re vellet:totiens ei virgulc bucerent 
Tlos aut quotiefcuq* aliquib mon 
ftrare volumus:iu bis pzefertij foi/ 
mu I is :o: bin a tap virgulap multitu 
bine non grauamur apponere. £u 
enim quincg volum 9 bemonftrarc : 
facim 9 quincp rirgulas : bucimufcp 
easbocmobo, 1 1 1 1 1 .Tcu^toti/ 
bem.tcu- io.nit)1b\lomm 0 .qimm 
rali'eft qucmlibet mime? quantas 
in fe retinet: tot vnitatibus befigna 



1 




re quam notulis *£ft igit Anitas vi/ 
cemoptmes puncti:interuatli:lon/ 
gitubinifcp pzincipiu$:ipfa vero nec 
intcrualli ncc longitubinis capaje. 
quemabmobu punctum pzincipiti* 
quibem,line£ cftatque intcrualli : 
ipfum vero ncc intcruallu ncc linea 
Tleque enimpunctum puncto fug/ 
pofitu vlluefficit intcruallu :velut ff 
nibil nulli iungas. Tlibil enij eft qd 
eje nullozum pzocreatione nafcatur 
£ abem quippc ctiam circa jquali/ 
tates pzopoztio manet.Tla* (i quot 
libct fuennt termini pares : tan turn 
quibem eft a pzimo ab fecunbum : 
quantu a fecunbo ab tenitim. ©cb 
inter pzimu x fecunbu :vel fecunbu; 
x tertiumulla eft interualli longitu/ 
bovelfpacium.Sienimtres fena^ 
rios ponas bocmobo.tf.tf.tf*quem 
abmobu piimus eft ab fecunburfic 
eft fecubus ab tertiu. Seb inter piu 
mum t fecunbu nibil intereft. 6 . cnl 
*.tf.nttllafpacij intcntalla bifiugut 
3ftaetiam vnitasinfeipfamultipli 
cata nibil pzocreat. Semel enim in 
vnum nibil aliub eje fe gignit quam 
ipfa eft* TU5 quob interuallo caret 
etiam vim gignenbi interualla non 
recipit.quob in atys numeris no vi 
bet euenire.Omnis enim numerus 
in feipfom multiplicands : aim quen 
bam efficit maioze quam ipfc eft .ib 
ctrco quonia interualla t milt iplica' 
ta maioze fefe fpacij.plijcitate biften 
bunt* 3b vero quob fine internal' 
lo eft:plus quam ipfa eft pariebi no 
babet poteftatem . £jc\yoc igif pzin 
cipio:ib eft eje vnitatc pzima omniu 
longiwbofucaefrit;qu£ abinarij 



numeripzincipio in mnctoe fefe nut 
meros ejrphcat.quonia pzimu inter 
uallum linea eft: buo vero internal 
la flint logitubo z latitubo :ib eft li^ 
nea x fugficies.Xria ergo internal 
la funt:ldgitubo:latitubo:altttubo: 
ib eft linea: fuperficies,: at$ folibi/ 
tas.lMeterbccaut alia interualla 
inueniri non poflimt . #ut enij vnu 
interualluj erit quob longitubo eft 
aut aliquib quob buobus internal 
lis ejrpofitum cft:ut ft qua res longt 
tubine babcat x latitubine. uel try 
na intcrualli bimenfione pozzigif : 
fi longitubinc: altitubine : latitubi/ 
necp cenfef ♦ fupza q abco nibil in / 
uenir i poteft :ut ipfop fejc motuu foz 
m? ab interuallop naturas x nume 
rum componant, Unu enim inter/ 
uallu buos in fe continet motus.vt 
intribusinteruallis fejcfefe motuu 
fumma coficiat hoc mobo . £ ft cni 
in longitubine ante x rctronn latitu 
bine finiftra x bejetra : in altitubine 
furfum ac beozfum • Tlcceffe eft aut 
vt quicquib fuerit folibum cozpus : 
Rbabeat logitai>ine$ latitubinecp 
x altitubine . x quicquib bee tria in 
fecontinet:illubfuo nomine folibu 
vocef,t>£ceni tria circa omnccoz' 
pusinfeparabiliconiunctione ver/ 
fant:tinnaturacozpoy conftimta 
funt. Ouare quicquib vno internal 
lo caret: illub cozpus folibu non eft 
Tlam quob buo ibla interualla re/ 
tinet:illub fuperficies appellaf.Ois 
enim fuperficies foja longitubinc z 
latitubine continet* x \)ic eabem il> 
latonucrfi o remanet?. Dmne enim 
quob fuperficies eft: longitubinem 

b 



■ 



m 

Wm 



I 



mm 



^^^^^ 



Ij 



z tmtibini retina. % quob b£ creti 
uet:illub eft fupficics/D£ c aut fug/ 
fides vno titu interuailo Jolibi coz 
pozis t)imetirione fuperat:que vno 
rurfus interuailo linea* vincit. qu? 
logitubinis naturaretinens latittt/ 
&inis ejrperf eft.Quj linea eo quob 
vniuse interualli fomta naturam 
a fugftcie vno inter uallota folibita/ 
te buobusTpacijs vincit . *jMinctu$ 
tgit alio rurfus interuailo a linea vi 
cif:ipfa fc$ qug reliqua eft logitubi/ 
ne.Quarefipunctu vnoquibe mf/ 
u alio a linea fuggrebif:ibem a fug/ 
ficie vincit buobus:tribusvero inf 
uallibimenfionibus afolibitate re 
linquit icoltat punctu ipfuj fine vlla 
cozpozismagnitubine vel internal 
li bimefione:cu z longitubinis z la / 
titubinis z pzofunbitaris ejepers fit 
omniu interuailo? eflepzincipium: 
z natura infecabile : qd grcci atl)0<- 
mon vocdt :it> eft it a biminutu atcg 
paruiflimu ut eius pars imteniri no 
poflit,£ft igit puctu pzimi internal/ 
li pzincipiumo tame interualliU li/ 
nef caput:fe& nonbu linea. Sicut li 
nea quocp fuperftciei pzincipiu. eft: 
feb ipfa fugficies non eft.t fecubi in 
terualli caput eft: fedmtamen inter 
uallu ipfa no retinet. 3? be quocp z i 
fugficici ratioue cabit:que z ipfa fo 
libi cozgisttriplicis interualli na^ 
turale foztit initiu:ipfa vero nec trij 
ua inter ualli bimenfione biftenbit: 
nec vlla craffitubine folibat. 



£e nuincro linearis £ap-v« 




3cetia5innmnc 
ro vnitas quibes 
cuipalinearifnu 
merus nonfit:in 
logitubine tame 
^iftetinumeripn 
_ cipiu eft. £t linea 
ns numerus cu tpfe totius latitubij 
nis ejrpers fit : in aliub tame fpaciu 
latitubinis ejetenti numeri foztit in/ 
ittu.Superficiesquocp numerozuj 
cum ip'a folibucozpus no fit:abbi/ 
tatameualtitubini folibi cozpozis 
caput eft.T>oc aut planius \)is ejee^ 
plis liquebit. Xinearif numerus eft 
a buobusind)oans : abiectafenv 
per vnitate in vnuj eunbecg buctu; 
quantiiatis ejcplicata cogeries.ute 
ib quobfubiecimus. 

jlll [III | | I I Ml l"M'l 

£>e planis rectilineis figuris : qdcg 
earu pzincipiu fit triagulus. £ap. ♦ 

Xanavcro fugfi 
ciesfnumertin/ 
uenittquotiesa 
tribus mcboatlo 
jne facta abbita 
bcfcriptionisl*' 
titubineUnfeque 
titi5fenaturaliu5 
Hiimerof multi' 
vx^iwc anguli bilatant. ut fit pzim* 
triangulus numerus .fecubus qua/ 
bzatus.terci 9 quifubquincp angif 
liscontinet . quej pentagons greet 
nominit.quartus beragon 0 : ib eft 
qui fejtr angulis iuclubit. quint 9 be' 
ptagonus.fejctus ogbogonua; ib I 




qui-r-tel-S. angulozu tcrminisbu 
latant .z cf terico&e mo fingillatim 
C naturale mime? angulos augeat 
in plana fc$ t>efcriptione figurant* 
1M f o i&circo a temario numero V 
djoat : quo&'latitu&inis % fugf iciei 
foltts ternari 9 p:incipiu eft,3fu 8 co i 
metricaquocBi&cplaniue inuenit 
fcttf eni line? rect£ fpaciu no conti^ 
nent.r omnia triangularis figura: 
Kt\ tetragonitvcl pentagoni: ucl \yt 
jtagom:velcumflibet qui pluribus 
angulis cotine t :fi a mebietate p fin 
gulos anguloflincf ptotmcant: tot 
cum biuitmnt trianguli j qitot ipfa* 
figura anguloa habere contigerit. 
Qua&zatu eni$ ita Suctf line? in*4* 
pentagonu in- ^hjejcagonu in.tf • Ije 
ptagonu in- 7«z qteroe in fuo? an/ 
gulo? mobo menfuracp g trtangu ' 
lospartiunt^uteftftibiecta fcefctv 
ptio. 




Hrt>crotriangula'figura cue! 
qs ita 5iuiferit:in aliaeifiguraf 
no refoluit nifi in feiptaj»in|tria enij 
triangula&itfipat. 




feeo b?c figura pjincepe eft la 
titu&inV.vtC£tereoc0 fuperft 



ciee in banc refoluant apfa o quo > 
niam nullis eftprincipijs obnojria: 
necp ab alia laritufcine fupfit initiuj 
in fefe tpfa refoluat .^be aut z i m/ 
meris fieri feques operis o*t>o mo/ 
ftrabit. 

fc>ifpofitiotriangulo:*m nume^ 
rozum: Capu. 

St igitp*im*triarc 
gul'mimei^g folia 
trib 9 rnitatlb*&ifli' 
pat :fc6m fufificiet 
pofitionej triagula 
fcilj t>efcriptione:t 
poll bunc quicucB 
cqualitate lateru in trina lateru fpa 
dafegregant. 





b t 




isetatcribua trianguloutm tux/ 
meroium. £ap-$- 

fcbuncmobuj 
in infinite pio/ 
greflfioe:oef<8 
ozi>inc triangu 
lifquilaterij?/ 
creabwitvrpzi/ 
mum omnium 
ponet ibquofc 
eje^nitate nafcifcutbecrifuatrtan 
gulua fitmon tame etia opere atcp 
actu .Ham fi cunctop eft mater nu/ 
meroy:quicqui&i bfeflwi abeana 
fcunt mtmerte inuenifcnecefleeft vt 
ipfanaturaliquabam poteftateco 
rincat.TbuPtriangttlilattw eftvni 
raa.Z^rnarius rero qui p:imua eft 
opere t actu ipfo triangulue: crefce 
te wit ate binariu mtmeru lama \ya 
bebitXIienimtpoteftate pzimitri 
anguli ib eft vnitatia vwitaa tenia e 
atu v e ro et opere trianguli pzimi: 
ib eft ternarij bualitaa :quam greci 
t>F aba vocant.Secunbi vero man 
guli qui opere atque actu fecunbua 
e :ib eft fenarij : crefcete naturali nu 
meroinlateribuaternariua inueni 
turjCertijrero i&eftbenarij qua/ 
ternarP latua otinet.t qrtitf o ib eft 
i s • anariua lat^tenet.r quinti fena/ 
riua. 3&emque vfcB in infinitu. 



feegenerationetriangulo? nti/ 
merotum £a£-9^ 




M fcunt au<tri/ 
anguli bifpofi/ 
ta naturali qua 
titate nttmero* 
rum:fip:ioiib* 
fempermultitu 
bo fequentium 
,congreget,fciP 
■t'ponat eni5 na/ 



turalis mimerU6bocmobo* 



1» llhl 4\ S\6 \ 7 |» (9 1 

03E bis igif ft pzimu numeru fit 
maibe vnitatc:babeopzimu 
triangulu: qui eft xi x ptate nonbuj 
etiam actu nec oge,t>uic fi fecubuj 
aggregauero qui in naturali nume 
ro:pbiipofiti6ebefcriptU6 eft it) eft 
binariu:p:imue mity triagulua oge 
x ami nafcit ib eft ternariua.Si o 
buic tertiu eje naturali numero abie 
cero: fecubua rnibi ope x actu trian 
gulua^pcreatSue vnu enim x buo 
fi tertiu it> eft ternariu aggregauero 
fenarPejrtenbit :fecubua fc$ triangu 
lua/fcuictfoficofequete quaterna 
riufuEpofuero:benarius ejcplicat : 
qui eft tertiua actu triangur\ quoa 
g later a bifponena ab fupiozis be/ 
fcriptionia ejremplar: cuctoa triagu 
loe numeroe finerlliua bubitatio / 
nia erroub'pnotabia.t quantaa vl 
timua numerue in fe rnitatea bab$ 
que fuperiozib 9 aggregabia.tot ipe 
qui fit triangultta vnita tee babebit 
in latere.Tla ternariu qui eft pzim* 
actu triangul* abieao binario vni/ 
rati feceram*: at bic buos babct in 
latere.* fenariubif abiecta ternarij 
quatitate^bujrim^ati'lat°foli tree 
cotinet:t ibei ali/e cuctia quotvni/ 




tates babem e tuttnep fitputtib'>ag> 
grcgabiertotvnitaribus eius late/ 
racontincbimf. 

fce qbzatia numeric* /Tap- 10. 

[ICtabzatuevero 
'uumerufeftrqui 
etidipfequibem 
latitubine pdbit 
feb non in tnb° 
angiitis ut tupc 
rioifoima:fs-4- 
3pfequocpfqli 
latenimbimenfionepoziigit . Sut 




CD 













1 


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1 


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1 


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1 


1 




1 


1 


1 


i 



fce com lateribus. £ap • 1 1 • 

r b in \)is quocp 
fedmnaturale nu 
merum lateru au 
rmeta fuccrefcut 
*jMim 9 ent vitpo 
tentiaquabjanis 
ibeftYniras.vnu 
babet in latere . Secunbue tfo qui 
acm pzimus ib efh4buobus p late 
ra pofitis cotinet . Xertius tfo ib eft 
noue qui fecunbus eft ope: tribiie i 
latere pofitis aggregat. £t ab ean^ 
be$ fequentia cuncti<pcebut. 

fcequabzatopgeneratioe rurfufcg 
be cov lateribus* £ap. 1 * • 





2tfcuntaut ta 
les nuineri ej: 
naturalis nu/ 
meri bifpofitt 
) one: no quern 
abmobu fupi 
ozce niaguli : 
vtozbinatfab 
fe iiuuce nue/ 
tie cogregenf .feb vno fp intermiflb 
qui fequif fi cu fupioze uel fupiozib* 
coUigar.ozbinatos ejt fequabzatof 
efficiet.iMfpcnat eni naturalis nu/ 
rnerusbqe mobo. 

1 n^?|4|?k>[7|Sl9| lo |i»l 

e%Y>is igit fi vnurefpiciarpzim* 
mibi nareft patequabzatua. 
Q6 fi vno reliao pozi terciu iujeero: 
fecubus mibi quab:at 9 efficif • Tlaj 
ft vno relicto binario ternariu appo 
fueroj quaternari 9 mibi quabzatua 
ejrozit .Qf> fi rurfus relicto mebio q 
ternarioqumariufimiltf aggrcga/ 
uerorqbzat 9 mflji tern' ib eft noiic 
nartycreaf •Units em ?. 3 et- hic 
ue colligut . &t 0 fi bie intermiflb 
fenariofeptenariuiunga:totaf. 
eiusfumacocrefcit-ibeftquam qV 
bzatinuerofitas . £t utbzeuit bui* 
fozma^pcreatiois appareat:ficuctt 
impares fibimet apponanticolloca 
to fc5 natural* uumero: qbzatop oz 
bo tejret. £ft etia in bis b£C nature 
fubtilitas x impbilis ozbinaiio : qd 
tot vnitates vnufgfcg qbza:o# mi/ 
nebit ["latere : quatifuerint numeri 
ab cdiuaionejjpzia cogregati, Tla 
in pzimo qbzato qm ejt vno fit : vn* 
eft in latere . 3fo fe ubo ib eft qter/ 
nario qm ejr vno z trib 9 j?creat : qui 



a 



buo flint termini:binario lat' tetff . 
z in noucnarip quonia trib° mime/ 
ris jpcreat :latU8 tcrnario continet. 
;Bt*B tbe in alije vtberi licet. 

j&e pen tagonis eouimque lateri 
bus. £aj)-i 

£ntagonu«tfonu 
meroseft:qttiipfe 
quibeflatimbinej 
fcftmvnitatebefcri 
pttsquibe.f.angu 
lisotinefxuctiafc* 
lateribusfquali bi 
menfionebifpofftis* Sunt afitfru 

L' 1 y ! 1^ | 22 | }S \ jl\ 70 \ 

£Y Obe quocfcmoboeop latera 
vAfuccrefcut.Tla p:imi ptatc pen 
tagoni ib eft vnius :tbe vnus fpaciu 
latcris tenet. SecuM o quinary g 
eft aau ipfo atq$ oge p:im 9 pentago 
nusibinielaterafijrifuntXerti^o 
ibeft. i2.mb*inlat 9 auct*eft.Quar 
cus- 22.4.muiierop. in latere quan/ 
titate biftenbit . atqj ibe in ceteris 
fcdmvnitatis^grefllone innatura 
li fc$ numero fedrnfugerio;? figura/ 
ru incremeta tenbunt, 

I f 12 






fcegnationepetaga^no^r.^a-i 4 

^fcutautbinu 
men quiejetefii 
i laiitubineqti 
queagulospa 
but: ab eafcem 
nalis numeri 
quatitate \ fefe 
coaceruatarita 
m utbuob* femg 
intcriectfe numeric fuperioa uel fu/ 
periozibusvincens ternario euctti 
iungenbue eft aggreget.Tlaq& Wi/ 
tati intermiffle buob't trib* ft qua/ 
tuoi iungaetqui trib'ipfa5 fupercnt 
vnitate:quinarPpentagon*,pcreabi 
tmv0oft.4vcrofi intermiflbgna' 
rio x fenaric r . ag greges :btiobena 
riupentagonu^pcreabis .Tlacp vn 9 
T.4-et- 7 -numeri. ii.ejrplebut.l3oc 
etidin alijsfiet. Haft- »°-vel. vF 
itf.vet- 19-vel.22.vel- if.fueiozib* 
cuctis abiunjrerie reobe quo fujnus 
mobo pentagoni fict : fc6m fugioze 
befcriprionem. 

I 11 I }S I fl 1 7Q 1 92 1 H7 \ 

fcet>ejtagoniseo*umq$ genera/ 
tionibus £af>- 1 * • 



£jcasoni autg 
feicangulifrbe 
ptagoig.7.rur 
fuslaterib 0 oti 
net: fjbucmo 
bujeo^lateru 
augmnetafuc 
crefcut.Tldcpi 
triagult nuwe 





ospi 

mm 
ftt 
w 

ih/ 

&vni> 

perctt 

otabi 

&na 

ik.Doc 
d.i)-rf 
pp0 



lictno 
:\atcru 



rinaturapcreationetplpfos nume 
ros iungebam 9 quifefe i naturati bt 
fpofttione feqrcnfrrfe tantuvnitate 
trafirent.quabzati tfo nunicri ib eft 
tetragoni j)crcatio ficbat ejc numc/ 
ris qui tmo intermiflb copulabant: 
cu fe binario fuperarent.pentagoni 
i?o natura fuit ejc buob 9 interpofitis 
relictifcg qui feternario rincerent. 
Scdmquoqjtaliaaugmeta \)t%^ 
gonoy uel octogono? vel.9. lateru 
figura ucl- 10 .uel quotlibet aliozu* 
copetenti^greflione coficit . Lit ml 
in pcutagono buob 9 intermiflis eof 
iugebam 9 qui fe ternario fuperaret 
ita nuc 1 bcjcagono trib 9 intermifT s 
cos kmgem'g fe quaternario tran / 
feant.z erut quibe eo? rabices x fu 
bameta:ej; quib 9 iunctis oes 

goni nafcunf. 

J ' If I 9 h? t '7) n i 
X ab eunbe oj&ine cofequeiv 



e 



tefratcgab h>is fejrangulop foz 
me nafcunt. ^_ 

V ' 1 *j 'f 1.13 I 4f 1 66j 

jT\Uos abfuperiozemobii fcilj 
befcriptos : in pzopiijs ozbiui 
bus pnotabis. 

£>ebeptagoniseozumc& genera 
tionibusrr comunis omniu figura/ 
rum inuenienbf generations regu 
la befcriptiomfcp figura?. £a- 



II 



£ptev ; oangu!o/ 
nu figura eftrcum 
ab eunbem ozbi 
nem jjgrefllouis 
vwopiufquamin 
tf. angulop figu/ 
ranumero inter/ 



miflb fupiozi c5iun]teri8.1la fi qua 
moz interpofitisqfefe gnario vin/ 
cat aggregauert:f)eptagoni otinuo 
figura nafcet .ut \)i nueri fint cop ra 
bice s t ut fupcri 9 t>icm e fubameta 

I 1 1 * I » i 1 \6 In 1 
Qui veroejt: bis conftantbi font. ~ 
1 ' i 7 1 18 1 34 I 5? I ~ 
Y^vOuej vero angulop fedmeun 
JL obetn ozbine fozma^pcreaf: ita 
utfcdm f quale p:ogreflion£ pzimi 
quocp eos numeri biftcnf ...TUm in 
triangulo qui funt numcri:quf piis 
ma fuperficiei figura eftivno fefe ta 
tu numeri jxebunt:quifcilicet ecnu 
natura befcriptionec^pficium. 
tetragono vero qui fecubuf ell buo 
bus fefe iuncti numeri vincunt . % in 
pentagotto tribus z in bejeagono 
4-tin beptagono • 5- buiufc^ rei nul 
lus eft mob 9 . t>oc aut nos fubiecta 
ru fozmap befcriptides bocebunr. 



3 



1.2.3, 

6 



1.2.3.4* 
10 




i-5« i.3-f< 
4 9 



1.3.^.7 
\6 



rjTfr 




& 4 





Mm 



i.4< 




gmiti? aut.Ucebit 
z a'iaru fozmaruj 
ciu£plurib 9 angu/ 
iscotinenr.quan/ 
tirates aflcribere. 
35 quonia faciU? 
calisfubieaare/ 

tinem:fup:aC>iaarij fozmard nume 
rofitasmfubterio^c&efcriprioe po 




(trianguli 


lUj tf|io|i5|n| iS 


Iquafczati 


h,4l 0 49 


Jgentagoni 






Jherasoni 


ff 


tf|iy|i8!45 ««l 9i. 


J^cgta^oni 







0ui figurati numeri cjc qatbus fi 
guratis numeria fiant : atcp qd tria 
gulus numerus omnwreliquozum 
pzincipiufit. £ap- »S- 

3teigititafcfe 
j babetib 9 qui& 
in bac re fit co 
feques inucth 
gemus ♦ Des 
cnimtctrago/ 
ni qui fub tria 
gulisfunt na/ 
mralt ozbina 
tione bifpofiri: eic fuperiozibus tria 
gulis pzoaeantallo^cg collection* 
qua&zatifiguracoponif. Quatuoz 
em tetragon 9 fitej: vno % trib°:it> eft 
eje &uob°fupiozib 9 triagulis. Tloue 
tfoejctrib 9 z<*. fe& vtricpfuttriaguli 
\6-ct*6.z. io.z.i5-ejr. io.?. i*. 
fcefcriptiofiguratojz numerozu 3^cpifequctio:&ineq&:ato^:co 
in ozfcine. £ap- « 7. Itas atc& imutabile repit .-fcentago 

nop vero furoin£ conficiunt ejevno 




bit 
ru 5 

4U/ 
Ml 
Dcre. 

taut/ 

i" 

Oil 



ft CO 



imi 
coione 

fid 

ft* 



(up fe tetragono x altriufec?triangtt 
lo oftituto. Tlacp. 5*pentagonue ej: 
quatuo: fug fe pofito tetragono : et 
cjc vno 9 in triangulop ozbine poni 
tur aggregat .fcmobecimtfo penta- 
gonusejrnouenario fw&tequa&ia 
lo x trib' fcdo triangulo nafcit- CU 
gintibuoverocjc itf.et-tf -quab:a/ 
tofcsatcgtriaguloz ^ejc-M^ ■© 
? in o:bine ab eunbe mobuintuen 
tc nulla cunctatio otrarietattimpe 
Met- 2Utf oftbe^agonos libiata cj: 
aminatione pfpicias:e;c cifoe triaiv 
gulistfuBfepofiris pentagonisj)/ 
crcanullancp fe;tbcjragon 9 :ejt gna 
no pentagono ? vno qui c i triagu/ 
\on ozbine bifpoftrnafcit.Tlec alia 
eftozigo - ^bejcagonhnifiejrbuo 
benario pentagono x tcrnario tria 
gulo.Qd fi- 13 .rurfubcjcagonu eje q 
bus fuperioiibus nafcat abbifcas: 
nuilos iuuenies nifi- i.pentagonu 
fenariucp triangulu,3ltc& lyoc in ti< 
teris.Tlecbuncgeniturf ozbine \yc 
ptagonop pcreatio refutabit.tlacp 
eje foe fe bejeagonis :z qc emit? pofi 
tie triangulis.pcr rant . Septc enim 
beptagon'nafcit eje fmario b^jcago 
no:tvnopoteftate triangulo- i$-ve 
ro beptagon*ejc. 1 5 beragono z ter 
nario triangulo coutugaf : et. 3 
1 3 .fcilicet beragono:z fenario tria 
gulo . atcpb° c * n cunctis mofTcnfu* 
reperirelicet.Ciibes neigit vtpzim 0 
oiu$ triagulus cuctopfiimas effieu 
atrr oluj^pcrcationib^mifceat. 

•£>ertinens at) figuratozum nume/ 
romm befcriptionem fpeculatio* 
jCapitulum- 19- 




3( veroomnea 
ftablatttubine 
fucrtntcopara/ 
titibefttriangtt 
litetragonisrvf 
tetragonipeta/ 
gonisivf penta 
gonibejeagontf 
reibirurfusb* 



ptagonis :fme altqua bubitatioe tri 
angulis fefe fuperabuuTlancg ft ter 
nariu trianguluquaternario vel q- 
ternarium tetragonu quinario : vel 
quinariu petagonu fenario bejrago 
no:vel fenariu feptenario b^ptago^ 
no coparesrpziino fe triagulo ib ell 
(bla tranfeunt vnitate.&t vero ft fe- 
nanus contra nouenarifr vel bic co 
tra- u. vel bic contra- 15 -vel- if«c6 
tra. iS.pzoinuenienbis bifferentijs 
coparewtunfecunbo fe triangulo ib 
eft ternario fuperabunt.fc>ece3 vero 
ab- 16.7. itf.ab.i2..et- 21 -a<v-S.et 
zS.ab- coponasiterttofe triau 
gulo vmcet ib eft fenario. &tcgb°c 
rite notabit in atya cunctis lequenti 
bus fefeperfpectu:omnefcgfe trian/ 
gulis antecebent . Quare perfecte vt 
arbitro: bemoftratu eft:omniu foi' 
inarutup:incipiuelementuincB effe 
triangulum. 

t>e nuineris folibis* jCap-io- 

VjLW^A ■B|3 n €vero abfiguras 
Ifolibasfacilioiviae, 
lyg^s) -^^cognito enint gb 
inplanisnumcrop fi 
gurievisipa quatita 
tisnaturaUteroperei 



mi 



tbj folibos numcros no erit vlla cuk 
CiatiOvSicut eni longimMni immc 
ropaliubinrualluibeft fugfiae vt 
latitubo oiibcrct ab:crim 9 :ita nunc 
bmtuMni figs abbateaq aha; alrt 
tubo:alias craflitttbo : alias^pfubi/ 
tas appeliat :folibu numeri coip^qc 
plebiu 

t>epy ramibe quob ea fit folibap fi 
gurarum pzincipiii ficut tr ia ngulus 
planarum. £ap* n 

IJbefaut que 
abmobu tpla 
nisfiguris ttv 
augulufnumc 
rus pnm°e:fic 
infolibisgvo 
catpframisjj 
fubitatfee pit 
_c^iu.£)mniu 
gpperatapinnumerisfigurap ne/ 
cefle e inuenirc pmozbia. £ft aut pp 
ramis alias a triangula baft in alti 
tnbinc fefeerigesraliaf a tetragona 
aliasapetagonarrfcdm feqnentw 
multitubtnes angulop ab vnucacu 
minis rerrice fubleuata/£>ofito eni 
triangtilo atcg bif|?ofito:fi g tree an 
gulps (ingulf rccvf lineg ftantes po 
uat: trcs indinec vt ab vnu me 
biu puctu Prices mgant:fit ppramis 
Chif cu a triagula baft^pfeaa fit:trt > 
bus triagulis p latera sdubit 15 mo 
Sit.a.b.ctrianguluTi buic tgit tria 
gulo E trcs angulos crigant lince:t 
ab r nu puctu ouer tanf :qd eft *b .tta 
vt.b.puctu no fit in piano f$ pebes: 
illf fcj Unef ab ipm erectftfticc r qd 
ammobo cacuroen .b ,f aciet ; et erit 




bafis.a.b.e.Vnu triangulu: B UKr* 
o tria triangula ib eft \mu triaugH 
lum.a.b.b.aliub vero*b.b.c* tertiu 
vero.c.b.a. 




be bis py ramibis q a qtoatts pel a 
ceteris multiangulis figuris pzolv 
cifctintur. £ap.x*. 

ZTemfi a tetragona 
bafi^ficifcat:etat> 
vnuverticed?line$ 
birigantierit ppra/ 
misqtuoz triagulo 
[rug latera :vno tm 
-jtetragonofbaffpo 
fitotfup qua figura ipa fubata ix fi 
a petagouo furgat gncp line£: gncp 
rurftts pframis triagulis otihebit.z 
fi ab bejtragono fejt: triagulis mbito/ 
min^tqultofcuqj angulos babue 
rit figura fugquapjramis refibet: 
tot ipfa jj latera triagulis orinef.ut i 
fubiectis befcriptionib 9 pala eft* 







[Soliboium generatio mv 
roerouun. £apzj. 

iufiuobi py ra 
mibea 15 mo. 
IMima p?ra/ 
miabetrtfgu 
lo:fa5a ppra/ 
mis be tetra/ 
|gono:triap?/ 
iramis be pen 
tagono:qrta pyramif be bejcagono 
gnta pjramia be beptagcno.jjfbej 
in coterie oftat numerMla qifi line 
ares numerosjee bijrim 9 :g ab vno.p 
fecti in infinitu currerct tit funt . 




h 1* h U',5 j6vl7 18 !9 TTo] 
^ip^^ 9 oz^inatim copofitC et i 
X cfe imtice cu biftatia met* fupfi/ 
cics nafecbit. CI t 11 vnu z buo iuge/ 
rea:pm 9 triagulu8 nafceretrib eft- 3 * 
tcubts abiugercin 9 tcrtiu:it> eft £na 
riu:faiari°triagu!uarurfu8 occurre 
ret.tpoftbostetragonivno intmif 
fo:?etagoni\ ; o buob 0 .bejragonitri 
bus^eptagonireUctiaqtuo: nafce 
bant.llucveroabfolibo? cozpop 
pcreatione;ipf£nobia fugficiea na^ 



tnralufigttrate.ptteniettrab fatten 
baa gbe pp ramibaa a triangnio ipi 
nobta trianguli coponenbi fit . Mb 
pzocreanbaa vero py ramibae a te/ 
tragono:tetragoni.ab eaf vero qu£ 
funt a pentagono :pen tagoni copu/ 
lanbifunt.etille qtif funt abbejtra/ 
gono vel beptagono non nifi bejra/ 
gonozumvelbeptagonozum copti 
latione nafcenf. *£>zimua ergo pote 
ftate triangulus vnitaa eft.eanbecp 
etiamponemuavirtHte ppramiba. 
leambua vero trtangulua eft terna 
riu8 .quern fi cum p:imo couiunjce/ 
ro: ib eft cum vnitate : quaternaria 
mibipzofunbitasppramibia ejrere 
fcit.j&t vero fi is tertiu feuarium iu/ 
jrero: benaria pvramibia pzocrea/ 
biiur altitubo.*bia fi benariu iunjte 
ro- 1 o* numerozum ppr amia veniet. 
atque ita in cunaia alije eabem ra/ 
tio copulationia eft. 

£r;anguti, 

\\\)\6 l.o|i5lz»>$f^ \4S l?T l 

foyramibea a trian g ulta, 

ITlbacigtt coniunctione necef/ 
fe eft :vt fettrg qui vltimttd fit CO' 
iugatozum numerozumria qttaft qd 
ammobo bafts fit Xunctia enim la 
tio: inuenitur: z qui ante ipfum nu/ 
meri coniungann?r:minorea cfle ne 
ceifc eft : vfque bum ab vnitatem 
bei r actio rata perueniat . qu£ pun/ 
ctiquobammoboTverttcis obtiue 
at locum . Tlanq* in. 10 .ppramibe 
fupcr fejr abbiri funt. 3 . atcp vnua.g 
fenariuafuperat tcmariam quanti 
tatem .ipfi vero trea vnu pluralirate 



So 



tranfcenbut.qui *>nus cjrtremu ter/ 
minu pgreflfionis offeubit. Similis 
quocp ratio in cgtenj?fpici pot:fi eo 
rujpcreationes biligenti'voluerisg 
fcrutari.3Uf uero q Cut a tetragono 
py ramibes:eabe tetragono^ fug te 
copofitione nafcunt . £>efcripti6 eni 
c unctistetraff onisibeft. 
"1 i Ulgl i<?lMl^l49i*4|S' 1 ioo|_ 

03 vnitate pzitna ejc bac bifpo/ 
fttioe pfuma:erit mity potefta/ 
tc r vi pyratnis ipfa vnitas : nonbu 
etia opere atop actu.St ft \)i\ic tetra 
gonu fugpona ib efl-4-nafcct pyra^ 
mis quiitcp iwmero? :q buob* tatu 
numerC E tatera pofitis otinet . Sin 
vcrobis fequentes.^abieccroifiet 
mtf)i- 14-numcrozufo^na pyrami/ 
bisiq g latera trib*vnitatib*c>cluba 
mr . 2Ucp lytxic fi fequete tctragonii 
itffugponam:tricenariamibipy™ 
mibie fozmajpbucit. $n\)ie q* ot/ 
bus pyramibis:tot erunt vnitates g 
later* quae? in fc fuerint numerom 
aggiegatf quatitates. Ha vnitas q 
p:ima pyramis eft vnu folu ib eft fe 
ipa* gertt in latere . Quincp o*q co 
ftant eje vno t-4 buob°g latera belt 
gnatVr. M-qejttribusnumeris co/ 
pofit£fit:ternarionumero in latere 
pofito oftimit. t>anc aut pyramibu 
gnatioe5 moftrat fubiecta 6fcriptio* 

Xetragoni, 

li[4| 9 \ \6\ij\)6\4<) \64 ISi I too l 

•fr yramibes a tetragonis* 

1 »l5h4l?ol7f jo; I »4oUo4l^S5l^S l 

eX ab cube m obu cuaf a c?te/ 
ris multiangulisjpfectf fotmf : 
inaltiozis fummf fpaciaj?bucunf. 
pnmie eni multojz angulo? foum 



cjtrfui generis figuravnitati fugpO' 
fita abvnoingrebiemibue ab pyr* 
mibuconftituenbas 'iguras vfepin 
inf into piogrebitur . £ t c% \>oc ecui 
&e5 apparere necefl'eeft triangulas 
fomas cftcrarufigurarucflTepnn/ 
cipiu$:quob omnia py ramis a qua/ 
cuncp bafi p:ofecta:velaquab*ato 
velapentagonozvelab beragono 
v<el ab beptagono vel a quocunq; fi 
mtliurfolie ti lagulis vfcp ab vertice 
contincf. 

fee curtis pyramibte. £ap.*4* 

jCire aute opoitet 
q if funtcurtf py/ 
ramibesvelqbia 
curt?:velqtercur 
tf.velqua:er:rbe 
nceps fc65 numc 
o? abiectionem. 
•perfecta eitt pyramis eft : q a qualt 
bet bafi,pfecta vfcp ab p:ima vi z po 
teftate pyramiba gueit vnitate.Sin 
o a qlibet bafi.pfecta vfcp ab vnita 
te altitubo ilia no venerit:curta vo/ 
cabif.T^ecte^bwiufinobi pyramid 
tali nucupatioe ftgnatift vfcg ab ejc< 
tremitatcpunctu^ novenerit^lDcc 
autefttvtfigs. i^-tetragono abOci 
at.9-atcgbuic-4-Tabvlteriozis fefe 
abiectione vnitatis fufpenbat:pyra 
mibis equibe figuraeftifeb quonii 
vfcp ab cacumen verticis non ejxre 
uit:curtavocabitur:Tb^*^ lumi 
tate non iam punctum q6 vnitas e : 
feb fuperficie:q6 eft quilibet nume/ 
rue faJmbafie illius angulos po::c 
ctus:atcB vltim 9 agg:egat°.Tlaft te/ 
tragona fuerit bafi©: qbzata bimi/ 




0 
fli 

400 

fia 

an 

S 

tc 

Ml 
craft 

rniw 
luro 

tpr 
SiHoli 
bus 



nutione feme afcenbit .t It pentago 
nabafis:fimiliter/rfibejtagona:illa 
quocp vltima fugficies erit bejeago^ 
na.£rgo in curtapjramibe tot crit 
angulop fueficies quot fuerit bafis 
Si to ilia pf ramie no folu *b vnita 
te ejetremitateep no guenit : feb nec 
ab pzimu quocp opere * actu mulct 
anguluei 9 generis cui 9 fuerit bafis: 
biscurtayocabit.vtfia- itf-te;rago 
nopficifccti9Vfcpin-9-terminu po/ 
natmeqj ejrerefcat a&.4-* qtcucp te/ 
tragoni befuerintttotiens ea curtaj 
efle bicem 9 .CI t fi vnitas befuerit p > 
mus quabzat^curta qua3 grcci Ro/ 
luronvocant.Sirerobuobus te/ 
tragonis beficit :ib cftvnitateteo q 
feqttit:*>ocaturbiscurtaqua5 gzeci 
bifcoluron appellant. Quob fi nv 
bus tetragonis : ter curta bicit qua 
greci trifcoltuonnominant:rquot' 
cikp tetragoni fuerint min 9 :totiens 
ilia ppramiba auta efli'pponimus. 
t>oc aut no folu a tetragono pf ra^ 
mibis:feb in oib 9 ab omnimultian^ 
gulo,pgrebietib 9 fpeculari licet. 

lie cubis et aflmbWlaterculis vF 
cunefe vel fpbericis z paraldlipipe/ 
bisnumeris, £a{Mf* 

£befolibCqui 
bequf pyramt 
bisfozma obti 
nent f qualiter 
crefcentib 9 :*a 
^pparelutra&i/ 
ce multianguli 
figura^pgre&ie 
tfb 9 bictu efl.fift alia rurfus qugbi 




cotpoy folibop cnbinabilis copofi/ 
tio:copg bicimt cubivelalferes: vtf 
lacerculi:vel cuneiivel fpbere:v>el pa 
ralellipipebi.q fut quories fugficiee 
5 fe (titrr buctj in infinitu nuq* ^cur 
r et .Difpofitc eni i oibine tetragois , 
JT"j 4 1 9 I '* A± L± 
Quoniabifolalongitubine latitu/ 
binecpfoztiti futt altitubine caret: 
fi glatera fola vni multiplication? 
recipiantifqualepuebutjrfunbita/ 
re.Tteqtwmetragon'buos babet 
in latere:? nat 9 e cj: bis buob 9 . 2Ms 
eni buo qtuo: faciut/fros ergo bu' 
08 ejcipfi 9 latere fi multiplices £qua 
liter:cubi ftnma nafcet. Ha fi bis bi 
nos bis fades toctonaria quatitas 
crefcit:? eft pum 9 bic cubus . Tloue 
tfo tetragon 9 qift.3. babet in latere: 
z fact? eft eje trib 9 in fe multiplicatis 
fi eni vna lateris jmtltiplicatioe* ab 
iunjrerisrrurfus alius cubus { quali 
latep fo:matioe crefcitXer eni tres 
fi tertio bujreris.ir.atbi figura p:o 
bucit.£t. 1 6 , qui e ejc-4-fi qter auge 
fcatifejraginta qtuo: cubus pari la' 
tcp blmefionecraflabit. rfequetes 
gOem tatragoni fedm eunbe mobu 
multiplicatioe f act a<pucbunt • Xot 
aut necefle eft vnitates cubus babe 
at in latere:quo; b^ tut p:im 9 tlle te 
tragon 9 ejcquo ipfe^pbuct^eft.Tlam 
qrh-4- tetragon 9 bnos tm numeros 
babet in latere :buos quocp babet 
octonarius aibus.t qm noue tetra 
gonus trib* g latus vnitatibus figu 
rabaf :folo ternario-i 7-cubi lat^i/ 
gef.£tqtn. i^tetragon 9 qtuoi vni/ 
tatu latus babebatrtotibe* 6± a\b° 
in latere get tabic vnitates . Quarc 



etia vi r poteftate cubi qd eft vnitas 
vnus eri t in latere.Omnis cm tetra 
gon 9 vna quibe$ fugf icies eft qtuoz 
anguloy :totibecg late? .Omnif aiu 
cubus qui eje tetragono? fupficie in 
,pf unbitate coipozf creuit: per tetra 
goni fcj lams multiplicaf: babeb t 
quibe fugficiee^.qua? fingulapla 
nttubo tetragono illi pziou cqualis 
c.Xateratfo ii.quopvnuqdqs fin/ 
gulis bis q fuperio*is fuere tetrago 
ni gquu eft.r vt fuperius bemoftra/ 
uim°:tot vnttatu eft* #ngulos vero 
S-quop finguius fub trib* buiufmo 
bi otinet :qualee pziozes fuere tetra 
gonivnbe cubus ipfe^pbucfeft* £r 
go eje naturaliter jpfnto numero : q 
in fubiectafomta befcriptifiitfubie 
cti teiragoni nafcuf .-re* bis tetrago 
nis q fubnotati fut:cubipuebunt . 
Humerus natural^ 

I'hhUhlH 7 1 
Xetragom. 

hi 4 f~9T'* Uf 1 1 49 I 
£ubi, 

0% qm omnis cubus ab £ quila 
teris qbiatisjrfectusif qu'ipfe 
oibus partibus eft. Hat latitubini 
longitubo:* bis buob'copar eft aV 
timber fc&m fejt partea:ib eft furfit 
bcozfu : berter a:ftniftra :ante :poft :fi 
bi gqu^le efle neccfle eft* buic oppo 
fituotrariucpeeopoitebit:qui nccp 

I6gitubinelatitubint:necpb? c & tt0 
^pfunbitati geratjqualiatfeb cuctis 
tn^qualib' quauis ! foliba figura fit 
ab gquaUtatecubilongiffime bifta 
re vibeat,t>i aut fitnt:vt figs faciat 
bis tres quater: vf ter quater quin/ 



qmesrralia b\xin(it\obic\i\$£ mjq 
les fpacio? grabus in^qualiter pio 
tiebunf-t)fcaut fomagreco noie 
fcalenoe vocaf.nos tfo grabata pof 
fum° bicere.qd a minoee mobo ve/ 
lut grabib'crefcat ab maiuf.Clocat 
aut eanbej figura greci quiba fper/ 
nifcon.Tlos autcuneupofTum^bi/ 
cere*£tem quos ab qullibet ilia re 
conftringenba cuneos foematmecp 
latitubinismecg longitubmis mecg 
altitubinisbabitarattone : quantu 
comobti fuerit: tantu vet altitubini 
mtnuit \>el cralTitubim^funbitati* 
auget 2(t(B ibeo bos plerocg necef/ 
fe eft oibus partibus ittf qualib' in/ 
ueniri.Ouibam vero bos bomifcoe 
voccmt . ib eft quafba arulas quj in 
ionicagrecif regione vtait nicbo/ 
macus \yoc mobo fozmatf fuerunt : 
vt neq* altitubo latitubinimecg bf c 
longitubini couenirent ♦ Uocaf aut 
alijs quibufba nominib*qu£ nucg/ 
fequifuguaam Mbicam 9 .3fait cubi 
cqualibus Ipacijsfepottigettbusrr 
f>ui*foim£ quabijrinV'grabata bi/ 
ftributioe bifpofitf :mebietates fut: 
que neepcunctis partibus jquelea 
futmecp omnibus incqualce . quos 
greci paralellipipebos vocant-Xa/ 
ttninomenbocita vnifozmiter co/ 
pofitumbabcrcnonpo(Tunt,Clt ta 
men ibem pluribtis bictu fit: ea na/ 
que hoc nomine vocatur figura :q 
alternatimpofitis latitubinibua ca 
tinemr* 

t>e parte altera longiotibua 
numeris:eozucp generatio/ 
nibus. iCap.i^ 




ttuifmoMYero 
fozmas qualcs 
fiit quf vocart/ 
turagrccis \)C/ 
tcromifceisnos 
bicere poflum* 
parte altera 15/ 
giozes.quap ft 

guraru nuitTer^ 

qiiocgb^inobo btrfinienbus eft. 
•£> arte altera longio: eft numerus: 
que fi in latitubine befcribas:t ipfc 
quibe-^wenit laterui^angulof 
febnocunctis ^quatibus febfemg 
minus vno.Tlancp neclatera lateri 
bus cuncta cuctis cqua funt :nec 16 / 
gitubini latituboifeb vt bictum eft- 
cum bine altera parsmaio: fuerit: 
tno tantu minozem p:f cebit ac fu^ 
perat. Sienimnumeru naturalem 
bifponas in oibinemiz fecunbuper 
pzimu multiplies .talis nafcetur nu 
merus.vel ft feeunbu per tertiu : vcl 
fi tertiu per quartu.vel fi quartu per 
quintum. omnescg \)i vnitatetan/ 
tu abbita multipltcenturmafcentur 
parte altera longioies.£>ifponatur 
cni Humerus naairalte. - 

i 1 1 1 1 ? 1 4 1 s \ 6 1 7 r 

JEt nunc quibem bactenus.Siquis 
igitur faciat rnu bis:faciet buo. £t 
rurfusbistresfaciet .^terqter faci 
ct- ii.quater^.faciet.^o.zboc mo 
bo ab eunbemozbine.Quicunquc 
igitur tta facet funt : pzocreabuntur 
pane altera longiozes :vt fubiecta 
befcriptio bocct. $ n ex quibus 
numeris multiplicati uafcuntur par 
te altera longiozes fup:a aflcripti 
Jlmr, 0ui vero nafcuntur fubteri / 



usfubnotati. 



'Ml? I 4 I 5 I * 



1 


6 


i 1 


io 


1 30 




1 1 


i i i 


i i i i 


Mill 








i i i i 


1 1 1 1 1 




1 1 


i i i 


1 1 1 1 1 


1 1 




i i i i 


1 1 1 1 1 






i i i 


i i 1 1 


Mill 




1 1 


i i i 


i 1 1 i 


Mill 



ibeantelongiozibus name/ 
ris:et be vocabulo numeri 
parte altera longious ♦ 
£apimlum-*7. 




ttgofiab wita 
tetantum bifcre 
pent qui mukipli 
cantur: befcriptt 
fuperius numeri 
peotebentur.Si 
veroaliquo m\/ 
merovtterfepte 
vel ter quincp rel aliquo mobo alio 
tnoneozumlaterafola bifcrepent 
vnitatc:ndrocabiturl)ic numerus 
parte altera longio*:feb ante longi 
oz.2llterumcnimapub pftbagoia 
relfapienticeius bfrebes nullt alij 
nifi tantum binario afcribebatur . 
iDunc alteritatis pziucipium efle pi 
cebant ,£anbem autem naturam z 
temper ftbiftmile confentientemcg 
nullamaliamnifipzimeua ingene> 
ratamcg vnitatem. £>inarius autej 
numerus pzimus eft vnitati bifllmi 
lis :ibrirco qd p:im 9 ab vnitate bifiu 
gimr.atcpibeo alteritatccumfbam 



piiiicipiufuit: qd ab illapzima etfg 
eabe fubftatia fola tantu eft vnitare 
frlfimilis.iDerito ergo bicentur bi 
numeri parte altera logiozes :qi> eo 
rulateravni°tmlefeabiecta nume/ 
rofitate pcebut.Srgumetu eft aute 
alternate i binario numero iufte co 
ftitui:q& no biax altep nifi e buob* 
ab tys in quos bn loquebi ratio no 
negligir • amplius q& impar nume 
rus Tola vnitate pfici moftratus eft: 
par vero fola bualitate ib eft folo bi 
nario numero.Tla cuiufcucp mebie 
tas eft vnus:ille impar eft .cut* vero 
2bicparitaterecepta:ingemina 
bifmngit.Ouare bicenbueftimpa/ 
re numeru eiufbe atcp in fua fe natu 
ra tenentis imotabilifcp fubftanti? 
eeparticipe$:ibcirco qdab vnitate 
fozmet.pare o alterPplenu efle na 
turf: ibcirco qd a bualitate copies 

Q6 ejtr imparib* quabzatirejt: parib* 
parte altera logiozes fiat. £ap-*S. 

Xveropo(it£ino* 
bine ab vnitate im 
parib 9 :etfubbisa 
bualitate paribus 
befcrtptis:coacer/ 
uatioimpariumte 
tragonosfacit:co/ 
aceraatiopariufugiozes efficit par 
le altera logiozes. Quarc qm tctra 
gono? b? c nam a eft vt x ab impa' 
rib 9 pcreent:qui funt vnitatis parti' 
cipesib eft eiufbe imutabilifcp fub' 
ftantie:cuctifcppartib 9 fuis f quales 
fihtrqo % anguli angulis: z later a la 
terib*^ tongitubini copar eft latitu 




bo^bicenbuc buiufmobi wtmeros 
eiulfce? naturf atcn fmutabilfe fub/ 
ftatif participef.^Uoe o numeros 
quos parte altera logiozes paritas 
creat :alterP bicem 9 efle fubftanti r, 
Tld queabmobu vnus abuob^vno 
tantu alter eft:ftc bo? latera afetm 
rno funt altera:? vna tantu bifferot 
vnitate.Quare bifponant in ozbine 
oes ab vno imparesrr fub onv 
nee a binario nu mero pares, 



hlM7|9 In I'? l 



i | 4 | 6 | 8 | io 111 1 14 I 

QStergopzincepa imparts ou 
binis vnitas:q ipfa quibc effe/ 
ctrijt z quobamobo fozma qu^ba e 
iparitatis.Onf in tantu eiufbe nec 
mutabilis fubftantif eft:vt cu vF fe/ 
ipfam multiplicaueritrvel in planitu 
bine vel injpfunbitatetvl' ft aim que 
Ubet nume? e feipfa multiplicet:a p 
ozis quatitatis fozma no bifcrepat. 
Tlacp fi Vnu femel fades vel fi femel 
Vnu femel :vf fi buo femelrvel fi tres 
femel:velfiqtuozfemehvelfi queli/ 
bet aliu numeru multiplicetra quati 
tate fua is que multiplicat numer* 
no recebit .qd circa aliu numeru no 
poteft inueniri . *£>aris tfo ozbinis 
binari*numer 9 pzinceps e .quj bua 
litas cum vneobc ozbine paritatis 
fititupzincipiutotiuseft alteritatis 
ll&pflfefripfamultiplicetvel gla/ 
titubineveletia^pfunbitatemrvelfi 
que nume? in fuS oglobet 'quanta/ 
terotinuo alter ejeozit .Tla bis buo 
vd bis buo bis fi facias -vel bis tres 
velbis-4-vdbis. f-velquelibet aliu 
tnultiplicet:quifgs bine nafcit alius 
qua pzimo fiierat inuenit . Tlafcunt 



t&ttx fitperioze befcripttone r ejtrp/ 
mooibmeoes tetragoni boc mo, 
C(nu eni fi refpejreris:p:im 9 potefta 
tetetragonus eft.Sin tfovnu trib 9 
coaceruaueris *4- tetragon 9 ejeozit • 
twic fi quinariuiunga:nouenari 9 
rurfus occurrit, Iduic fi copules 
i .qbzati foima fe fuggerit. 3f 
fi in cf tens facias oes copeteuter q 
bzatosvibeas^creari.iltrero eje 
fecubo paritatis ozbine ibem cucti 
pane altera longioees fiunt* Tldcp 
n buos pzimos refpejtero: buiufmo 
t>imi\)i numerus occurritquifit eje 
bis vnoXuto buob 9 fequentes .4* 
iujeero :parte altera longio: roifus 
eritrfenari* fc$ g fit ejt: bis trib 9 . Cni 
fi feqnente aggregauero nafcet mi^ 
bi buobenaria fo*ma : q fit ejeqter 
trib\Qdfiotinuatimgsfaciat cu/ 
ctos buiufmobi numeros i copeteti 
ozbine^pcreatos ribebit Qui befcri 
ptionefejiferiozfozma bemoftrat. 

Habices, 



£etragoni ib eft quabeati» 



' 1 4 1 9 if 



Habices, 



lil2>4>|i>4^.|2>4>^>SJi>4^,$> 10 

*£> arte altera tongknes. 

\Z\ 6 I II I 10 I jO 



^generatione laterculom eomq$ 
biffinirione. £ap**9- 




Cfos autfu/ 
peri 0 lateral 
l08bi)rim 9 :q 
futtipegbe 
folibf figurf 
bocmofiut. 
Quoties fij 
lib 9 fpacijs j 
_longitubine 
latitubineqj pozzectc: mino* \)ie ab 
bit altitubo . at funt buiufmobi- 3 • 
ter bid . quifut. 1S.vel.4- quater bis 
vel alio quolibet mobo.vt bis in lo < 
gitubine latitubineq; equis minor 
altitubo bucat.tubefiniunt 15 mo. 
laterculifut gfiutcjt fqlib 9 fqliter 
in minus.2tfTeresf 0 z ipf£ quibe fi 
gurf fut folibf :f5 boc mobo vt e% f q 
lib 9 f qualiter bucanf in mai 9 . 11a fi 
fquafueritlatiwbo longitubini et 
maio: fit altitubo:illf figurf a nobif 
afleres:* grecis clocibes notant.vt 
figs 13 mo faciat-4- qter nouies:qui 
inbepcreat afieres noiatifut.Spbe 
nifcitfo qs cuneolos fnperi 9 appella 
tiim 9 bi fut: g eje ingqualib'in^qliter 
bucti B injqlia creuere.£ubi $0 qui 
e;c£ qlib 9 f qliterg £qlia,pbuctifut # 

fee circularibus tel fpberi/ 
cis numeris . £ap- 3 o* 

T^fozutfocubozfi 
quatidkp ftierint 
ita bucti:** a quo 
nuerocubicf qua 
titattlat'coeperit 
ineitnbe altitnbi 
nisejetremitafter 
_ mineatuinet^ille 
cictic^rfpberi^ appellate fut mut 




tiplicationeaq agnario velfenarto 
pficitamt .11a qutnquiea qufcp g fir 
i * -at>. * ♦jJgfteflus i colbc- f . befinit 
£t fi bos ruriu quinquies bucaeiin 
eofbe. 5 -cof termin 0 veniet.0uing 
cs eni- - iiim. nf^fi b 08 rurfua 
quinges bucasri gnariunumepejc/ 
tremitas terminabif. 3Ucp (5 vfcg in 
infiiutu ibe fp eitenit Qi> in fenario 
q5 ouentt ofiberari ♦ I3i aut numeri 
i xirco ciclici vel fpljerici vocanf :g6 
ftcut fp£ra vcl circulua inppii) Ife pn 
cipij reuerfioe fozmant . £ft cm cir/ 
culuf pofito quoba pucto z alio emi 
nus befijco:illi*puctiqui cmvcPtifi 
% qualiter biftaa a pmo pucto circus 
buctio^abeunbclocu reucrfiovtt 
be moucri coeperat. Spberatf o eft 
femicirculi manete biametro circus 
buctio z ab eube locureuerfio vnp 
ue coepcrat ferri.Unita* quocp vir 
tute z potcftate ipfa quocp circulus 
vel fpcra cft.quoties eni punctu t fe 
inultiplicauerie :in feipm vn coepe/ 
rat faunae. Si cm' f aciat femel vnu 
vnus rcbit . z fx 15 rurfue femel ibe c 
3gif fi vnafueritmultiplicario fola 
planitubincrebbittf fit circuluf.Si 
feda: inojc fpbera oficit . £teni feda 
mttiplicatio effectrije fp eftpfubitatt 
££. 5-igitur -paucao buiufmobi 
fozmas fubfcripftmu8. 





> I 5 1 « 1 








| I I Itf I M< 








I ' I } I 777<5 






£>e natura re£ q bicit eiulbe natiirf 
* be ca q bicit alteri 9 natur£.t g nu/ 



mcri cui nature $iucti fi*t . £aj>- J ' • 

jCbefolibisg/ 
be figuris b£C 
ab pfena bicta 
fuflfiriant,0ui 
aut be natura 
raspings in/ 
uefttgatee rati 
_omb 9 :quicpin 
matbefeos bifputationeverfatirgb 
I quaq& rc eet^pziu fubtiliflime peri 
timmecp ebiberut:bi/eru oiu$ nam 
raa in gemina bini&etee b*cJP ecu ' 
latioe biftribuut-kicutem oea ofu$ 
rc? fitbftatias coftare c% ca q ppzif 
fuf cpfpb^itu&inis eft nec vllo mo 
pmtttat .z ca fcj natura q variabilis 
mot*eft fottitafubftatia.£t illapu/ 
mofmutabile natura vni'dufbecp 
fubftatif vocat.l^anctfo alteri 0 fc$ 
qd a pzima ilia unobili bifcc&cs pii 
ma fit altcra.06 nimiru ai> vnitatc 
gtinctit ab bualitatc.qui numerua 
pzimue ab vno bifecbes alter fact^ 
eft.£t qmcictifcftm vnitatis fpecic 
naturacp impares numeri fozmati 
futiquicpcjcbiscoaceruatis tctrago 
nifiuntbuplicimobo ciiifbefubfti 
tif participes effe bicunt : quob vcl 
ab ^qualitatefoimant tetragoni:vf 
coaceruati8 in vnu numeris impart 
bU8ptocrcantur* ^Uireroquifunc 
parcsujuoma binarij numeri foz/ 
m% funt;quicpc)cbi8 coaceruaticol 
lectiq; in vna congcricm parte altc/ 
ra longiozes numeri nafcunf : bi ft/ 
cunbuipftus binarij numeri nam/ 
ramab eiufoem fubftantif natura 
bifcefliflc bicunt eputanturcg altcri/ 



mm 
MP 



us nature ce parttcipes :ibcirco quo 
nia5 cum later a tetragonoium ab 
f qualitate pzogiefia in cqualit atctn 
pzopziflatitubinisambitu tenbat: 
biabiectovnoabgqualitate lateru 
infeeflerunt : atcp ibeo biflimilibus 
lateribusetquobammobo alteris 
a fe coniungunf . Ouare nobis no / 
tumeft quobejc biseaqu? funt in 
boc munbo coiuncta funt.2lut enij 
p:op:ieunutabiliseiu(bemque fub 
ftantif eft quob beus vel anima vcl 
mens eft^el quobcuncg pzopztf na 
turf incozpozalitate beatunaut mtt 
tdbilif variabilis naturf :quob co: 
poubusinbubitantervibemus ac 
abereXlnbe nunc nobis monftra/ 
bum eft:bac gemina numeroiu na- 
tura quabzatozum fcilicet z parte al 
teralongio:um:cuctas numerifpe/ 
ciescunctafcpb^bitubines velrela 
tf ab aliquib quantitatis:vtmulti/ 
pliciuvel fuperparticulariumtcfte 
rozum.velabfeipfam confiberat?: 
v t fozmarum quas bubum in fupe/ 
rio:e bifputatione befcripftmus in/ 
f ozmari.vt quemabmobu munbus 
eje fmutabili mutabilique fubftan/ 
tia:ficomnisnumerus eje tetrago/ 
nis quiimutabilitate perficiuntur: 
% e? parte altera tongio:ib*qtti miv 
tabilitateparticipantpzobcnir efle 
coniunctus . £t piimo quibem i>u 
ftribuenbu eft qui (lint bi Quos p:o 
mecas vocantrib eft anterioze par/ 
telongiozes.velquiquos betero/ 
mifceis ib eft parte altera logiozes. 
£ ft enim p arte altera logioi nume/ 
rus:quiamcpvnitatetantum lateri 



crefcit abiecta.W funt <*♦ fcilicet bis 
3-vel utres quater.rconfimiles* 
&nterioie vero parte longio* eft : <| 
fub buobus numeris buiufmobi co 
tinetur:quom3lateranon poflftbet 
vnitatis biflerentia:feb aliozu$ quo 
runcuncp numer0rum.vtter.5~vd 
terfejcvrquater.7-0uobammobo 
emmlongitubine inp:olijcio:e mo 
bum pouecta merito anterior par 
te longio? bicitur. £ur autem parte 
altera longiozes numeri bicantur: 
fupia iam Dictum eft . Quabzati ve^ 
roquonia f qua latitubinem longb 
tubini gerunt^zopzic longitubinis 
veteiufbe$latitubinis aptiflunevo 
cabuntur.vt bis-^ter }.quater.4- 
% ceteris arte altera vero longio^ 
res:quob non eabem longitubine 
tenbantunalterius quobammobo 
longitubinis:T parte altera longio/ 
resvocantur. 

Cuob omnia ejreiufbemnatura et 
alterius natura c6fiftunt:ibcBin nil 
metis pzimu viberi. £ap- 3 2 • 



iDne autem 
quicquib inp' 
pzia natura \6 
ftantiaque eft 
immobUerter/ 
minamm befi 
nitumqne eft* 
qtiippe quob 
nnllavariatio 
ne mutetur: nunq? efle befinat : nii/ 
quampoflit efle quob non fuit . Mt 
bf c vnitas fola eft .et que vnita ' 

c 1 




s i 



te fo:mant:comp:ebenfibilis z be/ 
i minat? z eiufoe fubftatif ee bicut . 
£atfofutqvelab fqlib*crefcutve/ 
lutqbeatuvel quosipfatwitasfo:/ 
mat:ib eft impares. itt o binari* z 
cucri parte altera logkuefrg a finita 
fubftatia bifceflerutjvariabilis infv 
n«f C0 fnbftatif nofant.£6ftat ergo 
numer 9 ois c% ty* q loge bifiucta fut 
at^5ria:ejnmparib 9 fc$ z paribus. 
t>ic eni ftabilitas:illic inftabilis v a 
riatto.biomobilis fubftatifrobur: 
illic mobilis pmutatio . \)ic befinita 
folibita* :tyc infitrita ogeries mttitu 
binis.Qu? fcj cfii fint 5ria:in v>na tfli 
qdammobo amicicia cognatioejq; 
mifcent: z illi° vnitatc infozmarione 
step regtmeto vnu nutneri cozp'effi 
ciut.Tlo ergo inurilif nec& impzoui/ 
beg&ebocmubobec^b^coi rep 
natura rariocinabant :bac pzima to 
tiusmubifubftatif bituftone fece^ 
rut,£t plato gbe in tineo eiufbe na 
turf z alterPnofat gcgb in mubo e. 
a teg altub i fua natura emanere pu 
tatibiuibuu incoiunctucp rrep otuj 
pzimu.alte? biutfibilert nun<£ injp/ 
pzij ftatuozbtnispmanes. ii>bp io' 
laua tfo necefle e inquit of a q fut vel 
infinita finita. fcemoftrare fcj vo 
lens otaqcucp fut ejr bis buob°ofi/ 
ftere.aut eje iufinita fcj ee :aut eje fini 
ta:ab numerifiue bubio fimilitubi/ 
ne/fc>ic em ejrvno z bnob\ impart 
ateppari oiugit . Quf manifeftafut 
fqlitatis atcp mcqlitatr:emfi>e atq$ 
alteri 9 :bef initf arcp inbefinite eflfe 
fubftdtif .Qd vibclicet no fine caufa 
bictuc:oia q ejeorijs oftfterent: ar^ 
jnontaq&aoiungiatcpcoponi. £ft 



eni armonia plurimop abunatio et 
biflentientiu confenfio* 

£j:eiuf be atcp alteri* numeri natu/ 
ra g fut qbzat 9 z parte altera logio: 
oes^poztionubabitubines sftare. 

Xapinslu-?;* 

$fponatergo 
inoibinenon 
ias pares atcp 
ipares eje gb' 
qbz&tivelpar 
te altera logio 
resfiunt:f5 \yi 
ipfigillis coa 
ceruatis ivnu 
eg rebactf z qbzati z parte altera 15 
giozes,pbeut.3fta enivibebim 0 ifto 
ru queba ofenfum z ab c£ teras nu/ 
meripartesjjereanbas armaria :vt 
no fine caufa \yoc in oibus reb* ab 
numeri fpecie natura rep iSpfiflfevi 
beat.Sintigit buorerfus tetrago/ 
nop ab vnitate omniu$:t a binario 
numero parte altera longioy » 

1 i-l 4 | 9 I i* I *y Ii6 U9 




|z 1 6 j ii I lo 1 ;o | 4 z |^ 
|^Dm igif ft pzimu copares pmo 
JL C bupli quatttas inuenit:q eft p/ 
mamultiplicitatis fpecics. Sirero 
fc6m fcdo:bemioltf quatitans babi 
tubo^pbudf .Si terciu tercio: fefqui 
terciappoitio^creat, Siquartuqr 
totfefquiquarta. z ft quintu quinto: 
fefgquinta* £t bine fupparticulariu 
nozma in quauis longiffimu fpaciu 
^grebiesantcgra inoflfenfacgreperi 
es^tavt in pzima bupli^ppoztione 
vnitatis fo!i 9 fit bifferetiaȣ>uo nicp 
ab vno fola feing bifcrepat vnitate. 



3fo fefqualteraVo buop eft biflfere/ 
tia.in fefquitercia triu. in fefquiqrta 
4«*rbeincepsfcdm fueparticulares 
fozmas numero^rqd at) bifferetias 
attinetrvno tantu crefcit abiecto ntt 
mem ejrplicans naturale. 



4-2 



'',1 

H 



IC5 



4 — 



10 



03fntfo fcdmtetragonu pzimo 
parte altera logion copares:et 
tmiufcdoizqrtuterciottgntuqrto 
eafbe rur fusjjpoztioes effici gnota 
bis qs in fuperiozefozma befcriplv 
mws. Seb bifferetif ab vnitate 
no incboat : ft a binario numero in 
infinitu jjeofbe calculosjjgrebiunt 
Jcritcg fecubue pmi bnplus.terti 0 fe 
cunbi fefqualter.qttarftertij fefgter 
cius Jcdmeanbe ouenientia qujlii 
perius bemonftrataeft* 



i 



2 ? 



10 



£>ifferentig pares, 



1 4 | | 8 1 io | u I 14 1 

j jj g 1 ii |io 1 ?o |4* 

»fr arte altera lonffiozes, 
'fY £ o fi iter pzimu z fedm tetr a 
WLgonupzimu parte altera longi 
o:cponim 9 :abvtrofc&eosvna pio 
poztione oiugit $n vtrifcp eni f ppoz 
nonib'&uplimultiplicitas inuenit. 
Sin o inter fedm terciucp tetrago/ 
nu fc6m parte altera logicne ponas 
fefqualterc coparationis ab vtrofcp 
fozma coponit. £t fi inf tcrciut qr/ 
tutetragonutertiuparte altera ton 
gioze oftituaeifefgterciafpcf nafcet 
z ibe fi in cuctis feceris : cuctas fug' 
particulars fpes inenire miraberj\ 

fecub 9 „ 
btiplus 

fefqualf 



pm 9 


7> 


pm'. 




3 




4 


altera 




3 9 










qit* 




Ijn 9 


i5 


g 


io 



4_ 
V 



^> Clrfusquabzati inwee irapa/ 
jLrribus biffemnt:parte altera lo 
giozes paribus. 



tsifferenn eimpares, 

9 1 ii 1 



TTTf 1 * 



i I 4 I 9 h*l x f I?*l49 

Ouabzati. 



_9_ 
4 9 

fefgterti* 

llW 

0X ab eunbe mobu in cfterc co 
ttenitintueri.*fturfU8fi ponat 
buotetragoni ejcfuperPbefcriptis: 
ib eft pzim*r fecubusrr in vnu colli/ 
gant :z mebP eo:$r parte altera logi/ 
oz bis mttiplicet:tetragon' , fit.Tla^ 
vn 9 T-4-fi inngant- aciiit. eo# bi/ 
narius parte altera logioz fi bis bu 
cat :qtuoz faciut.qui itmcti. 9-fine vl 
labubitationeoficiet gelt numer" 
qb:atus.£t ab eunbe mobui atijs 
\)0C mobo bifpofitis numeris quos 
fupza befcripfiin 9 ibem ^llat tntelli/ 

e 3 



gw$i vero commas z inter twos 
pzimu z fecunbu parte altera longi' 
o:esfecunbu$terragonum ponas: 
qui in oii>ine quibem fecimb us ell: 
feb actu t opere piimmxf buobus 
parte altera longiozibus congrega 
tisitbismultiplicatomebio tetr*/ 
gouormrfus tetragonus conftcitur 
Tlancp inter, tf.zbinarium numeru 
qui funt pzimns t fealbus parte aV 
tera longio:es fi penatur quaterna 
rius oibine fecunbus: par *s acm 
tetragonus:* coniungam btiot fcjc 
f aciunt. S . £t*m ft bis bucantur me 
bij quatuoi f aciunt rurfus octona^ 
rium.quicufuperkmbus invtcti ftv 
becimtetragonupanUmt. 
f »J if 

/^7\ r"7z\ ^ 4\- 

1 1 j 1 ) 4 1 4 1 <? 1 9 [ 0 hzj t5| 



1 9 1 


15 


1 49 1 


Xetragon* 


tetragon' 


tetragon'' 


atribus 


a quia; 


afeptein 


8 


iS 




Wn 






1 1 | 4 i « 




ll| \6\lo\ 






64 | 



a quatuoi afejr 



abocto 



IXlub quoq* non opoztet mino 
re abmirationefufcipcre: quob 
feeubupiopzias naturasrvbi altrin 
fccus two tetragoni ftanttz t n 9 par 
te altera longio: in mebio ponitur: 
tetragonus quinafciturille femper 
ab impari pzocreat . Tlam eje fuperi 
ozibue vno et-4»ct bis multiplicato 
bioarto:factus eft nouenariuf tetra 



goiuts.qtti (cHicet a tribita plotted 
lux. £er eni tres.^.faciunt. qui tetv 
narius impar eft numer<\£t feques 
quiejequatuoz-r^bfe multiplica 
to fenario coninnctue eft- * f .tetra^ 
gonuszripfeeje impart quinario na 
fcitur cotinenti poft ternariiuQuiiv 
quics eniquin(p^fpn)cebunt f et 
quinarius poft ternariuj impar eft 
Humerus .£t in fequentiquoqj ea' 
te:nratioeft.Tla!nqute£-9-et- 1*. 
tbisbucto. u.quabzatus.49-pzo/ 
bucimnillea feptenario impari fit 
pod quinariu continenti . Septies 
enim- r > 49-creant.2lt vero vbi buo 
altrinfecus parte altera longiozes 
vml mcbin tetragonu claubuntrom 
nesejt: bis qui fitmt tetragoni a pa' 
ribtts pzobucimt . Tlam quicjr buo 
bus i^parte altera longioiibus et 
quaternario bis multiplicato. itf.te 
tragonus factus eftulle a quaterna 
rionumero ibeft pari pzobucttur. 
tiuaterem.4* »tffunt.£tinfequen 
ti quocg o:bine vbi ejr fenario z buo 
becim z bis in fua fumma bucto no 
ueuario* 3 .fiuntiej: continent! pa/ 
ri fenario copulontur. Sejrenis fejri 
es. 3 .reftituunt.Tlec minus in ean 
bemrationemcabetcjt. ii-et-io.et 
bis. i^.factus.^4-tctragonus . I3ic 
enim e? octonario cotinenti poft fe/- 
nariumnafcitur* Dctiesenim octo 
^tetragonujiungimt ♦ £tin ali;d 
quoq$fecunbueunt>emot>u fiibes 
facias rationis o:bo no bifcrepat. 

Quob ex quabzatis et parte altera 
longiozibusomnisfozmaru? ratio 
coufiftat. £ap-H» 




Xlubveroquobeje 
buob*totaonv 
uiufozmarumvibe 
turozta.platiomon 
minozc confiberati 
onenotan&umeft. 
Tlanq* trtanguli g 
ctmctae alias foi / 
mas ficutfupcriusbocuimus colle 
cti pzot>ttcunt:bfo iuncris velut ejc g 
bufbam dementis oziuvmtr . Tlac& 
ejrvnopiimo tctrasonoet binario 
piimo parte altera longiojc ternari 
us triangulus coptilamr . £t ejrbij 
nariovel quaternaries eft ejefecu 
t>o tetragono: fenartus triangulus 
pzocreatur* £t quaternario quocp 
?fenario:benarius triangulus na/ 
fcitur* £t at) euu&.m ozbinemam 
ctatriangulo? ratio conftabit . fsi' 
fponanturenim alternatim inter fe 
tetragoni? parte altera longio:es. 
qui ft melius pernotarentur : p:ius 
in buobus cos verfibus bifpofuim 0 
poftautemeoibem permifcuimus. 
-rqui ejrinbe trianguli nafcereutur 
aflcripftmus* 

Xetragoni. 

1 i 1 4 1 9 ( i*Ml?tfi4 9l*4lStl_ 

parte altera longio:es » 

i | 6 1 li |iol3ol4*ly g l 71 l?°l 



tetra^oniraltaptelogiozefaltnati 
| iUl4l<g |9 \n\i6\io\*lti°\lf\4 i 

trianguli. 

Quemabmotmsquabeati parte 
alteralongiozibus vel parte altera 
IpngiP W # qtoatis fiat. J J * 




Xttnis derate 
tragonus fiei 
pzopiium la/ 
tus abbatur : 
veleobemrur 
fus bematuri 
parte altera 15 
gio:fit.Tlac& 
• 4* tetragono 
fiquis &uoiungar:rr&uo bctrabat 
-abbenbo pernctet: et buo betra/ 
benbo.at vterq? figuram continet 
parte altera longiozem que fcilicet 
magna eft alteriutf Vis.Omnis eni 
infinita? inbeterminata potentia: 
ab cqlttatt natura: % afuis fe finib* 
otiheti fubftdtia bifcebes :aut i ma/ 
itis cvuberat aut i minoza becrefcit, 
Q6 pneipalit eiufbe gbe fit fub 
ftatie vmcas:fecubo o loco ipares 
nmvieri xcrtio qbiati.t q6 pneipalit 
bualitas altcrius fit fubftantie:fcdo 
vero loco pares nmneri:tertio par/ 

£ap-3^ 
Dnftat igit p/ 
mo gbe$loco 
vnitate ^pii? 
uuutabilifque 
fubftitif eiufv 
beqj naturf: 
bualitatej to 
pma alcerita / 
_ tis mutattoiO 
mtc pndpiu.Scdo o loco oes im 
pares numeros^pf vnitatfcognati 
one eiufbe atq* imutabif fubftati? 
ec participef: paref o ob binarij mt 
rneri ofomu alteritattb 9 ecemi*tof 
Xetragonos quoq* ab eube moou 
pfiberari manifeftum eft > TUm qo 

e 4 



te altera longiozcs. 




^opcopofitio-rconiuucrio ejrimpa 
ribtts fitammutabiU cos naturf p / 
nunciabo coniunctos ♦ Ouob vero 
parte altera longiozes ejc copulatio 
ne pariwmjKreantur : nun$ ab alte 
maris varietate feparanf. 

Mltcrnmm pofitis quabzatis z par 
te altera longiozibus qui fit eoj: oft 
fus in differentia et in pzopoztione* 
£apitulu.37- 

Xlubigit perfpi/ 
cienbu5eft:q6fi 
ibemtetragoniz 
parte altera Ion' 
giozes bifponan 
tunitartalterna 
tim fibi permijtti 
Rnt:tmtain\)is 
eft conitmctio vt alias fibi in cifoem 
pzopoztionibus comunicent ibifcre 
pent autein bifferentijs^lias tfero 
differentijs pares fint:gzopoztioni> 
bus biflent.fcifponantenij inozbi 
neibemillifuperiozes tetragonnet 
parte altera longiozes ab vno, 
| i|2(4l<rl9i ill i^|iq[25|^o| 

0Hgo in fuperioze fozmulaboc 
marime intnent>u eft ♦Tlancg 
inter vml qui eft tetragon 0 :et-* *du / 
pla <ppoztio eft.inter 1 .et-4- dupla. 
Vic ergo tctragonuscu parte alte/ 
ra longtoze:atcp \)ic cu fequete tetra 
gonoreabejjpoztioe iungunf :bi(fe/ 
rentes f o no ifoe . Tllcp duo:? atcp 
wuTolavnitas bifferetiae.fjidem 
duoajjtemariofolobinario relin> 
quunt/fturfusfi^.ad.^fpeculeris 




duplaeft^poztio.fiqttawoz abfe* 
babitubine fefqualterarecognofcef 
t>ic ergo in^ppozttonibus bifcrepat 
in differentijs pares funt, Tlacfc z q 
tuoz a buobus r-tf-a quatuoz eode 
binario biftant.^n feque tibus etia 
eobemmodo fieut in pzimis fuit:ra 
tio conftat. Tlam eabem pzopoztio 
eft:bi(ferentijs no eifdem. Tlam.4* 
ab.tJ.et fejr ab noue fefqualtera pzo 
poztioneiunguut. 6. autemquater 
nariuduobus^vero fenariutrib* 
pzetereu nt , 3fn feqttentibus etiam 
eabem ratio fpeculabitur. z temper 
alternatimnuncqufbem e$bem,p/ 
poztiones;alif different^ funt. nuc 
aut ozbiue permutatorbifdem diffe 
rentys ali£ pzopoztiones. ©empcp 
in quibus dflferunt.fecudu natura/ 
lis numeri ozbines tetragoni z par/ 
te altera longiozes fefe fuperabunt: 
tantumquobgeminatis fummults 
naturalis numeri fit pzogzeflfio.06 
mirum videri non debet.nos enim 
ipfas fumas tetragonozum et parte 
altera longiozum geminam' ab pzt 
mas fecubafc&ppoztiones. 



CO 

•# 



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3 



3 



s 

I -5 t 
Iff 



i [i Ulf 19 |i»lig|iolzyUoUg| 
l'lM^hh|4 | 4 If If 1<? I 



(X ^einqttocgbifferentifimra^ 
VA bilem in mobu a toto g feque/ 
tes partes tgeafoemvnitates qui 
bus fuperPaeuerutpzogrebiunt* 
Tlamcp inter vnu z buo tatu vnitas 
mtercebit:qii£ vnitati cui jqualis c 
totu eft:binari;tfo mebietas.£obe 
mobointer-2.et-4*tantubuofunt. 
qui bimrii tottxtn (unt: quaternary 
mebtetas. $ni quaternariu tfo z fe 
nariu fbem buo funt:ab quaterna/ 
riumebietasrabfenariujpars ter/ 
cia. Ires tfo qui fequunt g inter 
et. 9-conftimti funt mebij;funt qui/ 
bein fenarij bimibiu:pars t>ero ter^ 
cia nouenarij . £trurfus ternarius 
qui nouenarij tercia pars e: buobe 
nari/quartaeft/rabcunbe mobu 
vfcg in fine befcriptionts geminate 
buiufmobipartib 9 ficutipfa quocp 
fummarucoparatk) geminata eft: 
jquas partiu^grefllones afpicies 

•£>:obatioquab*atos eiufbe ee 
nature £ap-3S. 

Xlub aut apertifli/ 
muftgnueftomnes 
tetragonos impart 
bus eflecognatos: 
quobinomnibifpo 
fitione abvwove If 
buplicibusreltuv 
plicibus talis naturfozbo conferit 
ut nuqua nifi fedm impare locum te 
fragonus inueniat.E>ifpomm°eni 
in oibini numeros: pzimo quibero 
b uplos :beinbe triplos . 
1 1 




1(41 81 B€g| 11\ 6 4\ H$\ 256) 



e^igit^nVtrifcBverfib^pnmof 
afpicias:fingulosquos inue/ 
nis quonia tetragoni funt:in impa/ 
re loco funt conftituti:quoniaptimi 
funt. Si vero terciu locu refpejeeris 
4-et.9-notabis:quop bic abuobuf 
jpficikit : ilium ternarius creat. qui 
funt loco impari confti i tuti. Ouintu 
beinbefivibeaslocus. itf.et-Si -re/ 
fpicies.feb vnus a quaternario na/ 
fcitralterujnouenarius creat. £t fi 
nonu locum rurfus afpicias: tetra/ 
gonospernotabis-Mtf.tfftfi - quo 
rumfuperiozfita- itf-inferiozvero 
ab.Si •^bemfiininfinitufacereli/ 
beat inbifcrepanf incurrit. 

£ubos eiufbem parttcipare fub/ 
ftanti£ quob ab imparibus nafcan 
tur, 

I *£>fitfo nibi gqua/ 
' qudtriY interual 
lisfubUtifint:tame 
p:opter f quale mul 
£ tiplicationepartici/ 
pantimutabili fub/ 
ftantif:eiufbemque 
naturf funtf oci) mon aliozu quam 
impariucoacematione peobuntur 
mmqua vero pariu.Tlam fi omnes 
ab vnitate impares bifponantiiun/ 
cri figiiras cubicas ejepticabut . 
I»l^lfl^l9lnli3ii5li7li9[i») 

IH igit qui peimus eft pote/ 
ftate z irtute:pamu album fa 
ciet . jjuncti V ero buo qui fequunt 
ternarius fcilicet z quinarius: fedm 
efftcifit cubum: qui eft octonarius . 
3faucti autem- ? qui fequunt: fepte 




harius nouenariurquet . u • cubuj 
faciunt:qui- * 7.numero continetur 
qui eft tercius • £t fequentes quip 
mo: quartu?.? qui fequunf- 5 - quin 
turn.* ab eunbem mobum quotus 
quifque cnbus efficitur :tot coniun/ 
ctionc mpares apponunt* Voc au 
tembiligentiusfubiecta befcriptio 
£>ocet 



|7l<)|ulM|i5l^l'9 l 
" T"i7 1 <?4 



S 



piv |fecubus [tercius Iquai tus 
mttfla bis j a ter tri|a quater 
ab [buob 9 Ibusterlquatuo* I 
vnolbie | Iquacer 1 

fce^o^ionalitatib 0 £ap*4°* 

£ betysquibej 
fufficieterbictu? 
eft.nunc res ab 
monet qujbam 
be p:opo*tioni/ 
bus bifputantef 
qti£ nobis vFab 
^nwficas fpecula 
tionesrvel at) aftronomicos fubtili 
tatcs:vel a& geometries confibera' 
tionis vim:f el etia * veteru lectio/ 
numinteltigenti* piobeflepoflint : 
britbmeticaiutro&uctioecomo&iP 
lime terminare. £ft igit p:opomo/ 
.nalitas buarum vel triu vel quotli/ 
bet pzopoztionu aflfumptio ab vnu 
atque collection t autein comuni; 
ter btfiniamus:p:opo:rionalitas c 
buarum vel plurimn pzopoztionuj 
fimilie babituboxru; ft non eifbej 
quautitatibus z biffercntii's confti/ 
tute m . fcifferetia 0 eft inter nil 




meros quatitaf-lMopomo eft two 
rum terminoium ab fe muice qug' 
baj babitubo * quafi quobammo/ 
bo contincntia .Ouozum compoli/ 
tio quobefficit piopomonale eft* 
j£jciunctiseniin p:opo:tionibU8j> 
poitioualitas fit. $n tribus autein 
terminis minima piopoztionalitas 
imienit .f itctiam inpluribus feO 
longioz.vtbinarius ab vnumqno/ 
niam buo funt termini: buplam ob 
tinet pzoponionc.fin vero quatuoe 
contra^-compares.Tbicquocg bit 
pla pzopomo eft ♦ quos tres termi/ 
nos fi continue conftberes sej &ua/ 
br.3p:opo:tionibus fit pzopoztio/ 
nr/atas. £t cltypoztionalitasivnuj 
ab buo:i buo ab quatuo:.£ft cnis 
^oztionalitas ut bictu eft collectio 
p:opo:tionu invnu;querebactio« 
^it etiam z in longioiibus, Tlam fi 
quatuozillisoctovelis abiungere: 
z bis- 1 bis- 3 1 • *t beinceps bu/ 
plos qui fequunf :fit in omnibus bu 
pla pzopoztkmalitas eje pzopoitio/ 
nibus buplis ; ^git quotiens vnus 
atque ibe5 terminus ita buobus cir 
cumfe terminis comunicat:ut ab 
vnu bur fit ab alium comes tycjp/ 
poztionalitas contimia vocatur :Vt 
vnus buoquatuoi,. £ftenimfqua 
litas in p:opo:tionis. z queab/ 
mobufunt 4-a&* 2 -ficlUntbuo ab 
vnum.. j-trurfusquemabmobum 
vnus ab buo: fie buo ab quatuo* ♦ 
£t fedm quantuatem quoque^nu/ 
merieobein inoboeft. Quantuenf 
tres fuperant binar infantum bina 
riusvnitatcj.Tquantuvnus a buo 
busminoult:tanmm binoriiw 9 



I I 

'0/ ' 

ft 

ottm 
ilitas 

nob 

TO 

a 




tonario fuperatttr . ©in *ero alius 
ao vnum rcfertur terminus : alius 
vero ab aluttn :neceflTeeftbabuubi 
nem bifutncto} wcaiiat ab f qua 
Watem quibem piopoitionis ftmt. 

2 *4-S.©ic enimfunt quemabmo 
tuunbuo ab tnumrfic octo ab qua 
tuor .z conucrfim quemabmobum 
vmie ab &uo:fic quatuoz ab octo . 
£ t permutari; quemabmobu qua / 
cuoz ab vnum ftc octo ab btnarium 
©cdrnquantitarc vero numeri : ut 
runt- 1.2.3.4. quantum enim vnus 
0 ouobtts rincit :tantu tcrna rius a 
quaternario fupcraf • £t quantum 
ouo vnum vincun t :tanto cernariu; 
quaternanus iranfit,t>ermu:tim 
ctiaj quanto rnus tribus mfno: eft 
tato binarius qusternazio, rel qua 
to ternarius vnitatc fuperat : tanto 
binarium tranfgrebit quaternari\ 

Oucapubanttquoa p:opo:tio/ 
nalitasfueritiquaspofteri abbibe 
rint, £ap-4i . 

% Onfeflg qui / 
be t apub an 
tiquiozesno/ 
tf:qufqueab 
Pftbagoz? vr 
platoistf ari 
ftotelisfcien/ 
tiapuenerut: 
bf tresijnebi' 
etatcs funt.aritbmetica: geomctri/ 
caiarmonica . 1>oft quasjjpouio * 
nujbabitubines tres aiicfunt quf 
fine nomine quibes fcruut . aocan 
tur aute quarta:quinta:velfejrta, q 
fuperiua bictis oppofite funt.#t ve 




ro poften propter benartj mtmeri g 
reaionequoberatprtbagoze com 
placitus:mebietates alias quatuo* 
abbibenmt :ut in bis pzopoztiona^ 
litaabusbenarif quantitatis co:/ 
pus efficerent.Scdm quern nume/ 
rum rpiiozes quincp babitubines 
compararionefcp befcript? (Unt.vbt 
quinquemaiozibus p*opoztionib* 
quos vocauimus buces : minozes 
aptauim 9 alios terminos quos co/ 
mites bijrmus-^nbe etiam in are/ 
ftotelica atcp arcbf tbepzins. icp., 
bicamentoi: befcriptione: py tbago 
ricum benaritim manifeftC eft inue 
niruOuauboquibem rplato ftu/ 
biofiffimus py tbagoef fc6mea5 bif 
putatione btu bit.t arctytas pvta/ 
gozicus ante ariftotile I5 quibufbas 
fit ambiguu becem bee pzebicame 
taconftituit.^nbe etiam. 10. mem 
bzopparticulf.inbealia permulta 
quf oia gfequi non eft necefle. 

Quobpzimumbeea que vocaF 
aritbmetica pzopoztionalitate bice 
bumeft. JCap-42- 

Clnctfobepzo 
poztionalitarfy 
bus beque me 
bietatib 9 bicen 
bu c.£tpzimn 
gbe became/ 
bietate tract*/ 
bim*:qu£fc6m 
qudtitatLequa 
litate negjlecta .cpoziiois parilitate 
9ftiwto£terntf6? babitubtnes fcr/ 
uat.^fn bis aut qnatitatib 0 mebie^ 
tae iftaverfatinc^ljisfpcculaba^ 




mm 



in quib'afeipfis termini birterunt ♦ 
Quit) aut efiet biffaxtiatenninom 
fuperius biffimtueft/fr anc aut efle 
aritbmetica mebietate numerozuj 
ipfa ro beclarabit rquonia eius pzo 
poztio in numeri quantitateofiftit. 
Ouj igit ca eft buiufmobi termino/ 
rubabitubine ^ eft ^itbmeticam 
cunctis alijs,ppoztionalitatib 0 ante 
ponerer'pzimu quob banc nobis in 
pzicipio ipfa numerop naturae vis 
naturalis quatitatis oppcnit/Dui 0 
mobi em,ppoztiones quj c& ab ter' 
minop bifferetias ptinet : ut paulo 
poftbemoftrabita naturalifpzimu 
numeri bifpofitide cognofcim*. £>e 
in&c quobfupiozejibzo bifputanti 
bus nobis apparuit aritbmeticam 
vim geometrtca atcg mufica efle an 
tiquioze:? quob illatabas fimulin 
ferret:fnblata vero perimeret.0ua 
re ozbine bifputatio.pgrebiet : fi ab 
ea pzius incboanbu* fit mebietate: 
qu£ in numeri bifferetia no in pzo/ 
poztionis fpeculationeverfau 

fc>e aritbmetica mebietate eiufcp 
pzopzietatibus. £a$-43* 

'ftitbmeticame 
bietatemvoca- 
mus:quotiens 
iveltribM'quot 
Ubet tenuis po 
fitt :£qualif atcp 
eabe bifferetia 
Jmfocs bifpolv 
tos termios muenit. 3(nquanegle 
eta j>portioms f qu^Utate termino/ 



rutantu bifferentiariufc fpeculatio 
CUftobif.Vt- 1.2-3-4-^^7.8.9* 10* 

ITl bac em nomr alis numeri bif 
pofiti6ne:fi quis cotinuati* bif 
ferentias terminozu5Curet afpice/ 
re:fc6m aritbmeticam mebietatem 
cqua terminop inter fe bifcrepan/ 
tiaeft- £qualeseni$funt bifferen/ 
t ic:feb eabempzopoztio ntqne b*' 
bimbo non eft.Si igitur in trib*ter 
minis conftt>eratiofit:c6tinuapzo/ 
pouionalitas bicitut. Sin vero \)\c 
alius bujc x alius comes : tliic vero 
vtricp fint alij ivocabif bifmncta me 
bietasjSiigit in tribus tantnm ter 
minis fedm cotinua mebietatem co 
fpejceris:vei in quatuoz :vel in quot 
libet alits fc&m bifiunctam:eafbem 
Temper biflferentias terminozumvi 
bebis:tantu$folis pzoportionibus 
permutatis /$b fi in vno quis noue 
rit reliqua eu ratio non latebit. Sit 
continuamebieras- M.^lMcvn* 
a btiobus x .2-a tribus folis tantu; 
fingulis biftant.r funt ejbem biffe/ 
rentif pzopoztiones vero ali£ . Tli' 
que buo ab vnu buplus eft .trcs at> 
buo fefqualter/r in ceteris ibem vi/ 
bebis.Sin autem pcrmifcens x ali 
quos pzfteriens eligas \x in bis ali' 
quam fpeculationem ponas : ibem 
poteriteuenire/Tlamfi ?quales ter 
minos intermittas :tfefe inpziozc 
bifpofitione pzf tereant. fi fingulos 
intermittas :foliusbinari; notabit 
bifferentia.fin vero buo pz? tereas: 
ternary . fi tres: quaternary • x ab 
eunbem mobu? vno plus quam in 
termiferisierit ilia quamquerimus 
biffercntia terminozum .Tlamque 



til 
m 

pan/ 

i 

WW 

oimc 
ranter 

HOT CO 

:n c?aoc 
urofl 

MB 

ubrcsaS 
'mii 



ft m trib^ terminis finguli rclinqua 
tunbinarius Temper intererit. 
fciffereutif 



1 1 IMM417T 



intermifli 

a3Jbe8 ne ut cus fuperiua in na 
turalis numeri bifpofitione fe 
termini fingulis pzeterirent:p:eter/ 
miflis bnobus t 4-vnueabtre8:et 
3«ab quinariu coparati:binariiifo/ 
lum in differentia retinuerint. Tlec 
no etia in bifiuncta eabem verfabit 
obferuario. 

fcifferentif 

r t \ 

1 i 1 * 1 3 \ 4 1 5 1 * l_y| 

— ^7C7~ 

intermifli 

T#libus igit vcfligijs infiftente 
nulliie ab eabem fimilitubine 
erroz abbucet* Tlac& ft buos inter, 
mittastternarius bifferentia conti^ 
ncbitM tree: quaternarius. fi qua' 
tuo: qninariU8:^que incotinuis^p/ 
poztionibus arcp bifiunctis.Quali/ 
tas aut pzopomonis eabe non erit 
quauia lint f quia termini biflferen/ 
tije biftributi.Ouob fi couerfim po 
nanf:ut no eifbej bifferentys eabej 
qualitas pzopomonis eueniat:geo 
metrica talte^ppoztionalitas no ari 
tbmetica nomiuaf. £ft aut pzopziu 
buitts mebietatia quob fi in tribue 
termini* fpeculatio fitxopofitia ep 



iremitatibttsiUafumma qtt£ inter 
ejetremitates eftmo loco tantu :\>ep 
etia fit quatitate mebietas.Cl t fi po 
nanf- ■•M-vn^tresquatiiozreb/ 
btmt.fcuo vero quimebiua inter 
t>trofcpeft:quaternari) mebtetae in 
uenit.Ouob fi bis mebietate bucaf 
f que erit ejetremif atibue • Bis eni$ 
buo quatuo: creant.Sin tfo bifiun 
eta fit :quob fit eje vtrifcfc ejrtremit*' 
tibus compofitis:bocejcbuab*me/ 
bietatibusrebbit.Sienimfunt. i* 
.4-vnus z quatuoz quinariu ere 
antibuoTttesmebij ineunbes rur 
fits quinariu furgun t . 

continua 



bis buo 
4 

bifcontinua 




I ■ 1 * I 3 I 4 



eSt illi \)oc qttocp folibappeta 
te oiunctu:quob queabmobu 
funt omnes termini tmiufmobi btf/ 
pofitionisabfeipfosiitafunt biflfe/ 
rentif ab biflferetias oftitutc.Tldcp 
omnis terminus fibiipfi fqualis eft 
z biffereutif biffcrcmxjs hint f qua/ 
les.^llubquocp fubtilPquobmttl 
ti IjuP bifciplinf peritinifi nicom^/ 



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Firenze. 

Magi. A.6.22 



djtw niinq* antea perfpejeerunt: q6 
in omni&ifpofi tione vel cotinua vf 
fcifiunctatquofc cotinet fub tmabuf 
ejrtremitatibus minus eft eo nume 
ro qui er mebietate, coficit tantum 
quanta poflunt &uf fub fe biflferen/ 
ti£ cotinere quf inter ipfos funt ter/ 
minos conftitutf .*£onamu8 enim 
tree terminof buiufmo&i. 3 • 5* 7 -9i 
igittresfeptiesaugeant.in. 21 .nu/ 
meru cat>ut- 0uot> fi me&iu termi^ 
nu ib eft- 5 • in femetipfu* multiplies 
uerisiquinquies quince faciunt. 1 5 
Jctbicnumerusabeoque ejetremi 
tatescolliguntquaternario maioz 
eft:quefcilicetbiflerenti£ coficiunt 
3nter tree eni 5^. 7 -bini intfunt. 
quosfi ifefe multiplices-4- rebbut 
bis eni two quatuoz fiut/Recte igit 
&ictueft:inbacbuiufmo&i bifpofi' 
tione qi> cotinet fub ejrtremitatibuf 
min° eflfe illo numero qui fit eje me > 
btetatetantuquantubifferentif in 
fe multiplier rethtuunt. 

Oaartumvero viopiiittyml 
mofci bifpofitionis notat : qd 
antiquiozes quocpljabuere notilTi 
tnu:quo& in b*c pzopoztionalitatc 
vel mebietate in minozibus termi/ 
nismaiozespzopoztiones.iumaio 
ribusminozescomparationesne' 
cefleeft inueniri.TlanKp in &ili>ofi/ 



tione bac- 3-minozesfunt ter/ 
mimi- » -ct- 2 inaiozes • 1 -et- 3 ♦ et • 2 
at> vnum buplus eft. 3 vero at) bu/ 
os fefqualter:feb maioz eft pzopoz/ 
tio bupli quaj fefqualtera . 3fn, ar/ 
monicaautemmebietateecontra/ 
rio euenire contingit. 3fa minozio 
enimterminisminozes pzopoztio/ 
nes :in maiozibus maioz pzopoztio 
nis quantitas cuftobit. t>aru vero 
mebietatu ib eft'aritbmetic? ^qnc 
armonicf :geometrica pzopoztiona 
litas mebia eflfe notata eft • quj vel 
in maiozibus vel in minozibus ter/ 
minis fquas numerozum qualita/ 
tes i ppoztionalitate cuftobit, 3fn/ 
ter tiiaius vero z minus : gqualitas 
loco ponif mebietatis,£t be aritb/ 
meticaquibem me&ietate fatis&i/ 
ctumeft* 

isegeometrica mebietate eiufcg 
pzopzietatibus* £ap-44- 



Ctnc vero qu{ 
bac fequif geo/ 
metricame&ie^ 
tas ejepebiatur 
qu$ folavfrna' 
jcime pzopoztio 
nalitae appella 
ri pot :,ppterea 
^quobi eaeif&e 
pzopoztionib 9 terminop vel in ma/ 
iozibus vel inminozib 9 fpeculatio 
ponif . t>ic enim f qua femper^oz/ 
tio cuftobit:numeri quantitas mul 
titubocp negligitcontrarie quasw 




arithmetic* mebietate^t font- uu 
4-8: 15.32.64. ctcl in tripla piopoz 
tione- 1.3.9.27.81 ♦uclfi quabm/ 
pla vel ft quincupla vel fi in quamli 
betmultiplicitatem numerozumfit 
conftitutabiftenfio . 3fn \)ie enim 
quotlibet terminos fumpferc; ejcple 
bunt geometrica mebietatem ♦ que 
abmobuenimpzioz ab fequentem 
tta fequens ab alium . £t rurfita i fi 
permijete facias ibem erit.Si cnim 
ponanf trcs termini- 2 -4-et.3. que/ 
*bmobufunt.8.ab.4-ita.4-ab • 2 . 
#tque \yoc fi conuertaa : quemab' 
mobum funt . 1 • ab-4* ita erunt -4* 
•b.3. 

fcupla Jbupla 

( v \ 

I ^ 1 4 I 8 I 

0£l fi in quatuoz terminis vt 
funt-2.et 4-8.et. itfquemab/ 
mobum eft pzimuaab tercium . it) 
eft.2.at>.S.ficerit fecubus ab quar 
tum:ibeft.4-ab- itf-CltracBenimp 
poztio quabzupla eft ♦ £ t couerfim 
quemab mobii quartus eft ab fecu 
bum :ita tercius notatur ab pzimus 
•froc vero etiam bifiunctf licet.Tli 
quemabmobu eft pzimua ab fecun 
bumrib eft. *«ab quatuozific terciuf 
abquartu:ibe.8.ab- itf.rconuer/ 
fim quemabmobum fecunbusab 
piimum:ib eft-4-ab buoa: ita quar 
tu*abtercium:ibeft- itf.ab-S.ibcB 
in omnibus rata confiberatione & 
fpicie*. 



Jbupto feupl* 

1 * I 4 1 8 | \6 ' 

quabmpla quabzupla 



U4|.&betautempzopzinm buiitf/ 
X c mobi mebietas quob in omni 
bifpofitionefcdm \yanc pzopoztto/ 
nalitatem terminozum biflfercnti£ 
in eabempzopoztione contra fefuc 
qua fuerint ipfi termini quoity font 
ipff bifTerentif.Siue enim t>upli co 
tra fe fint termini :bupl£ erunt etia$ 
bifferetif .fine triplirtriplf.fiue fcdiu 
quamlibet multiplicitatem: eabem 
in bifferetijs multiplicitas erit: qua 
pzimaconfiberatio inuenit in ter/ 
minis.utfubieaabefcriptio monec 

jsifferenti gbuplg 
hi* 1 4 I 8 lig[3lfc|i28| 
[l \ z\ 4\S\\6\^i\64\lzSlzj6r 

Xerminibupli 



Y^valUigiturbnbiumeflTe poteft 
L Cq6 cuj 0C8 termini bupli fint: 
itabifferentif quocgeo^: termino* 
buplf efle ribeantur rut vno minus 
termino in biflferentijs : omnes pe> 
ne bifpofitos fubter terminos quo/ 
ru funt ipf<£ bifferetif: fuperioz ozbo 
rebbiberit.jEft etia aliub pzopziunt 
quob omnis ab minoze maioz tcr/ 
minus coparatusiipfum miuoze re 



tinet biflferentia. Haq* binarius ab 
vnitatc:ipfavnitatebiffert .z qua' 
ternari 9 binarto;ipo binario.-r octo 
narius quaternario : ipfo quaterna 
rio.z beinceps maiozes alij :ipis mi 
nozibus ab eif be ipfis bifferut quof 
numerofitatepzctereut.£t bocqui 
be$ in bupltci ppoztione cabit.Sin 
vero fint triphces pzopoztionef: ma 
ioz terminus a mmoze tcnnino bu/ 
plicato minoze termino biffert . CI t 
ft fint- i.;*9.trefab vnorbinario bif 
ferut:in que vnitas ibcft minoz ter/ 
minus buplicatus ejcunbat> t-9- a 
rnbus fenario bifferut: qucm terna 
rius buplicatus ebucit * £t in alijs 
ciktisriufmobt ratio reperiet. Bin 
tfoftuabzuplices fint: triplicate mi/ 
noze termino maioz terminus ami 
noze biftabit.ft fi quinquupli:qua 
bzuplicato . et fi fejrcupli: quinquu/ 
plicato.tvna minus multiplicatio/ 
nequa5eftipfaminop ab maiozes 
coparatio termino^ : minoze nume 
rus maioz ejrfuperat. 

fcrifferentigbuplg 
|, 1 i | 4 1 $ \ \6Uz\64 \iiSr 
1 i I z I 4 1 S\i6\)i\64\iiS\if6 l 

XerminibupU - 
fcifferentigtriptg 

1 i | 6 1 i91f4| \61\4S6\ i4t$\ 
1 1 I 1 1 9 MS' Ii43ki9 

XcrminitripTT" 

jsifferentig quabzuplg 

Jjl n\4S\i9i\76S\\o7il ui88| 
[ i|4 I \6\64\i<>6\ I024l409^l i6j$4 \ 

Xerminiquabzupli 



1f*|£c autppoztlonalitas x \ atya 
X C omnibus vel fugparticularib* 
vel fuppartientibits inucnif :buiuf> 
mobipzopzietate in omnibus con/ 
feruataiutincotintta pzopoztiont: 
quobfitfub ejctremitatibus fi tres 
fuerit termini:boc a mebietate mul 
tiplicata cofurgat. Si enij fint- % -4- 
8 -quob fit ejc bis- S . ibem fit cjc q ua 
ter 4-Uel fi fit in quatuoz termini* 
bifiuncta,ppoztio : qdftt fub rtrifcp 
ejctremitatibus ib bnarumebieta/ 
tu multiplication concrefcat.Dt fi 
fint.i-4-8. itf.quobfitejrbis. ltf.ib 
ex quater -S. rebbatur . £jcemplar 
aut nobis majrimu?certiflimucp fit 
illub :vbiqc % qualitate btj:im*oes 
inj qualitatis fpecies fubt^ltcenf 
in omnibus vel multiplicibus uelfa 
perpartientibus vel(iipparticulari> 
bus vel in ceteris coiunctis geome/ 
trica.ppoztibnaliras cuftobit :bas 
omnes pzopz ctates quas fupzabi/ 
jcimuscontincs-Guartavero eftp 
pzietas buiufce mebietate: quob vX 
in maiozibus uel minozibus tennis 
nis f quales fernp^ pzopoztiones fut 
Tlamcpfiponant ^4 8- 1tf.31.04- 
inter bos omnes bupla^ppoztio eft 
Spparetetiabcc p:opozttonalita$ 
in binis ^pozttonibus ab vnitate al 
ternatim parte altera longiozibus 
quabzatifcpbifpofitisapzima mul 
tiplicitatcbabitubine ibefta bupli 
cipcuctas fupparticularisbabitu/ 
bines pzopoztionefquebifcurrens. 
quobfubiecta befcriptione figna/ 
mm eft. 



tioSi 
optii 
ito 
mm 
to 
tm 

mi 



MU a^UltUb | 


i 


1 


parte al Ion 


* 


1 funics 


Xetrasonus 


4 


Ibupla 


parte aLlon. 


1 6 


Ifefqualtera 


£etragonus 


\ 9 


1 fefqualtera 


parte al ien. 




1 fcfqtmercia 


Zetragonus 


16 


Ifefquitcrcia 


pane aLlon. 


iO 


ifefquiquarta 


Zetragonus 


2f 


! fcfqtuqturta 


pane al.lon. 


?o 


! fefquiquinta 


Zetragonus 


3* 


i fefquiquinta 


parte al.lon. 


4> 


I fefquiferta 


Xetragonus | 


49 


Ifefqwfcjrta 




One mebietates quibusrerum 
publicaru ftatib 0 coparent. JCa-4f ♦ 

Xo3 ibeo aritbme 
tica qaibemeirei 
poltcf coparat q 
paucia regit: ibcir 
coquob in mino/ 
nbtts eius term*/ 
nia maiorp:opo: 
tiofu.fDuficamvero mebietatem 
optimatubicut efle rempublicam: 
ibeo quob in mato:ibus tenninis 
maio: pzopoztionalitas inuenitur. 
Ceometrica medietas popular* qo 
ammobo z er equalitate tiuitatis e 
TUcp vel in maioubus vel in mino / 
rib us equaliomniupw>pomonali/ 
tate componivz eft inter omnes pa 
ritas quebarn mebietaris cquu ms 
in^ppouionibus coferuantie. 

Quob fugficies vna tantii in p:o 
pouionalitaobua mebietate iunga 




turrfolibifo numeribuab*mebieta 
ub'in mebio collocant . JCap-4^ 

Oftbccigittenv 
.puftmttjcpebia 
musnunc quib/ 
i &am nimis vtile 
in platonicaqua 
bambifputatio/ 
nerque in timci 
t cofmopeiabaub 
J facili cuiqua ret 
penetrabili ratione verfaf. Ocs eni 
planf figure q nulla alritubine ere/ 
fcuntvnatanm rnebietate geome^ 
tricacotinuanf.'aliaqueiungat no 
petinueniri.vnbebuotantu in bia 
interualla funt conftituta : a pzimo 
fdlicet ab mebui; z a mebio ab ter/ 
ciu.Sirerofuerimcubi:buas tan/ 
W5 b^kebunt mebietatea vbi tercia 
inuenirino poreritrfcomgeometri/ 
cam fcilicet pzopoztione .vnbe foi/ 
me folibftria interualla kicimtt)* 
bere.£ft enim vnu interualUj a p:i/ 
mo ab fecunbu:? a fectmao ab ter/ 
ciu:z a tercio ab quartu$: que eft fci 
licet poftrcnu biftanria. *Rectc igif 
z plane figure buob° interwalUs : z 
folibf tribus cotineri bicunt . Sim 
cnunbuo tctragonM- fcilicet et-9* 
borigiturvnustantummebiua in 
eabcfn pzopoztione conftuut poteft 
llanque (cnarius ab • 4- fefqualter 
eft.z.9- ab fenariumeobem mobo 
fefqualter. Tyoc aute ibcirco aienit 
quob fingula latera fingulouun te^ 
tragonozumefficiuut fenariam me 
bietatem . Tlanque quaternary te^ 

f 



3 

i 



< 



'tragoni latU8 binariud eft: nouen* 
rijtemariueJjiergomuUiplicati fe 
nanum perfecerunt,#i8 cnim tree 
fenarius eft. £t quotienfeucp fcatia 
buobti8 tetragonie eozum mebie/ 
tatemvolumue inuenire:lateraeo/ 
rummultipUcabafunt: * quie^bie 
pcreabunt mebietae eft* Si autem 
aibiftntvt-S.et.^-buetantu inter 
boseabem pzopo:tione mebieta' 
tefiConftimiqueut*ii-fcilicctet* i3 
na#- u-ab-S-et- i$.ab.i7.fefqual 
teratantumpzopoztione iungnnt. 
SnbMuocpeabem latent? ratio 
cft.Tlanqueejrtfnocubo qui pzo/ 
pinquiozeftrvnamebietas buola/ 
tera colligiuejc alternatim vero po/ 
fitovnum^naltaqiioc^mebicta/ 
te ibem eft/ponant enim buo cubi 
z in mebio eozum buf mebietates 
quas fuperius bijrim 9 -8-buobecim 
i$.i7.octonarij igitur lame eft bv 
nariustbie enim binibie octonariu 
fecertmt . Xernarius vero- 17. cubi 
latus eftXer enim tree ter- 2 7.refti 
twut.XDebietae igit qufiujeta octo 
nanum eft:ib eft. u-mutuaturbuo 
latera eje pzopinquo fibi octonario 
% atiub vnu; lame c% altrinfecus po 
fito.27.cttbo.£>isenimbiniter- n. 
panbunt.£t- iS.eabcjrationebuo 
latera a.ppinquo fibi- * 7. cubo colli 
git:t vnii ab altrinfecus pofito occo 
nario.Xresenimterbis. iS.amclu 
bunt.lDoc autcm vniuerfalitcr fpc/ 
culanbtt?eft:ft tetragonn5 tetrago 
ttum multiplicet:fine bubio tetrago 
nus pzouenit. Sin vero parte alte / 
ralongioz tetragonum multiplicet 



vcl tetragonu* parte altera longto/ 
remmnnquam tetragonusifcb fern 
per ante longioz crefctt . Ifturfiis ft 
cubus cubum multiplicauerit: cubi 
fozma conficitur ,Si vero parte al/ 
teralongioz cubum :velcubua par/ 
te altera longiozem : nunquam cu/ 
bus pzocreabitur- b<* fciticet fedm 
fimilitubinem pari* atcp impari8 . 

ar enim parem ft mnltipUcet:fem 
per par nafcitur ♦ z impar imparem 
fi multiplicet: impar continuo pzo/ 
creatur. Si vero impar parem:vd 
fi par imparem multiplicet:par fern 
per ejromur/Doc autej facilius co/ 
gnofcit ejclcctione platonis inlibzif 
berepublica:eoloco quinuptialts 
bicitunquemejeperfona mufarum 
pbilofopbus introfcucvt.Seb nunc 
abtcrciam mcbietntem rebeunbu 
eft. 

£>e armonica mebietate eiufque 
pzopzietaribus . £ap • 47 • 

Hmonica aut 
mcbietas eft : 
quenccgeifbe 
btffcrentijfnec 
equis pzopoz/ 
tionibus con^ 
ftituitunfebil/ 
la in qua que/ 
abmobusma/ 
jrimus tenmnus ab paruiflimuj ter 
minum ponimr: fic tuffcrentia ma' 
jrimi z mebij contra biffercntii me 
bij atque paruiflimi comparatur, 
Ut fi fint. ) .4 ^vel fi-z • 3 Sena/ 




5> 



If 



fata 
iris, 

ran 

s 

iusco- 
nUtf 
pa* 
farunt 

5 

k 



euseft: 



aw* 



riusmimqttatemariumfua tercia 
parte fuperat:ib eft buobus.quater 
nariusveroternarium fua quarta 
parte fuperuenit:ib eft vno. j£t fena 
rius teruarium fua mebietate ib eft 
tribus.ternarius verobinariu$ fua 
parte tercia ib eft vnitate tranfeen * 
bit.Quareinbis necpeabem pzo/ 
poztio terminozum eft : ncque funt 
eebem biflferenti? ♦ eft autcm quern 
abmobummajrimus terminus ab 
paroiifimuterminu : fie biflerentia 
majcimi z mebij at) bifferentias ine 
£>i| atque poftremf. Tlamcp in bac 
pzopoztioeqn?eft.3-4 maioz ter 
minus ibeft fenarius ab paruifli' 
mttmterminfiternariuj&uplus eft 
z biflferentiamajcimi z mebij ib eft 
fenari) z quaternary buo fcilicettab 
biflferentia mebij z vltimi ib eft qu* 
ternary arcg ternary quj eft vnitas 
twpla perfpicttur . Sci> boc quocp 
fubiccta befcriptione monftrat . 



bifferentt£bupl$ bifferctif triplg 




termini t>upli termini tripli 



~p*Woct autempzopzietates que 
JL Cabmobum bictum eft contra/ 
riam aritl?metice mcbietati.\3n ilia 
enim in minoztbus terminis maioz 
erar pzopoztio ;in maiozibus vmox 



in bactfero in maiozibus quibep* 
tenninis traiozeftpzopoztio:innu 
nozibus vero minor . Tlanque in 
bac bifpofitione. ^.4-^tres ab qua 
tuor comparati fefquiterciam b*bi 
tubinem : fejc vero ab quatuoz fcf/ 
qualtera rebbunr.feb maioz eft p:o 
poztio fefq ualter a a fefquitercia t a >- 
turn quantum pars tercia mebieta 
tetranfeenbit- ^ ^eigiturmebiez- 
tasqufbam geometrica pzopziecp 
eflepzopoztionalitas iubicatur.fci' 
licet inter earn vbi in maiozibus ter 
minis minoz eft pzopoztio z minozi 
bus maioz:* inter earn vbi in roaio 
ribus maioz eft in minozib 0 minoz. 
3f lla eft enim vere pzopoztionaKtaf 
que mebietatis quobammebo lo/ 
cumobtinens :t in maiozibus zin 
minot ibus : cqu alibus pzoponioni 
coinparationibus continetur. 130C 
quoquefignumcft buarum ejetre/ 
mitatum mebiam efle quobammo 
bo geometries pzopoztione ♦Tlatp 
in aritbmetica pzopzotione mebiuf 
terminus eabcm fua parte z mino/ 
rempzeccbit Tamaiozcpzecebitur 
f$ alia jjte miuozCalia o gte maiozf 
Sit enim aritbmetica bifpofttio.*. 
3-4-Xemariusigiturnumerus bi^ 
nariumtertta fua parte pzecebit ib 
eft vno : z a quatcrnario tercia fua 
parte pzfcebimr ib eft vno- &t vero 
ternari 0 no eabc parte mtnozis mi 
noze vincit:vel maiozis a maioze fu 
perat.Tlaque miuore ib eft binarifi 
vno fuperat:ib eft ipfius mebietate 
binary . a quaternario vero vno re^ 
linquit ; qu£ pars qternaru quarta 

f i 



s 



eft/fcecteigitur&ictumeft me&iu5 
terminus in buinfmo&i me&ietate : 
ea&etn fui parte % minozem vincere 
z a rmioic fuperari:fe& non eif&em 
partibus velminozis minozem trdf 
gre&iwel maiozis a maioze tranfce 
fct.Xontrarie armonica me&ietas 
<ppoztiones babet . Tlaqj non ca&e 
parte fua me&ius terminus in bac 
pzopoztione vel minoze vincitwel a 
maioze fuperat. fe& ea&e$ parte mi 
nozis minozem fuperat : qua parte 
maiozis a maioze fuperat ♦ 3fc bac 
enis&ifpofitione armonica qu£ eft 
3 ternarius binarius terciafui 
parte vindt:t&em ternarius a fena ' 
rio tota fui quatitate fuperaf : i& eft 
tribU6*3&emcpipfe ternarius me/ 
&ietate minozis vindr minozem: i& 
eftvno.z me&ietate maiozis a ma/ 
ioeeterminovincitur:ibefttribus ♦ 
Senary enim me&ietas ternarius 
dt^nseomewkavero me&ietate 
necg eif&em fuis partibus me&ius 
velvinritminozesvela maiozevin/ 
atur.neque ea&em parte vel mino / 
ris minozem fuperat :vel maiozis a 
maioze relinquit .fe& qua parte fua 
me&ius terminus minozej fuperat: 
ea&e parte fua maioz terminus me 
&ium tfiurit.Ouo& eft ut me&ietas 
atque ertremitas cqua'ibus me&ie 
totem tejctremitate^reliquam fuis 
partibus fuperua&ant. 3n \)*c eni3 
&ifpofitione que eft-4- .9-tercia fui 
parte me&ius fenarPqtiaternariuj 
fuperat:i& eft &uob°,T tercia fui par 
terurfus nouenarius fenarius vin / 
dt:i& eft tribus/babet autem alias 



pzopzietatem armonica me&ietas ♦ 
vt cum &uas ejsremitates in vuum 
re&actas me&ietas multiplicaueru 
&upla quantitas colligif quam fi fe 
multiplied &U£ ejetremitates. Sim 
enim bi termini, w.t.&i igitur ter 
nariu-rfenariuiungas nouenariuj 
facies.quipcr quaternariu &uctus 
36.efficit • quo&fifeipff ejetremita/ 
tesmu!tiplicent:tfianttres fejtiea 
1 s.conficiunt:quo& eft pziozis fum 
mf&imi&iutiK *' 




Duare &ictafit armonica me&ie 
tas ea quf &igefta eft. £ap-4 8 * 

Onfi&era&uj 
fozfitavi&eav 
tur :cur banc 
armonica mc 
&ietatem vo/ 
cemus.jCuiuf 
bec ratio eft * 
quoniam ar i 
tbmetica &if 
pofitiofquastantum per&iflferen/ 
tias &iui&it quantitates.geomctri/ 
ca vero terminos cqua pzopoztio/ 
ne coiungit ♦ 2lt wo armonica at> 
aliqui& quo&ammo&o relata con/ 
ft&eratioue: itecp folum in terminis 
fpeculatione5p*opomonis tyabet : 




an 
if 
feci' 

■# 

9 



neque folum in bifferenti/s : feb in 
rtrifcfccoimmiter . Querit cnim ut 
quemabmobu5 funt abfeejttremi 
termmufic matozis ab mebiu biffe 
rentiatcontra bifferentiam mebie/ 
tatis a& vltimu ♦ St) aliquib antcm 
confiberationem armoni? piopiie 
eflc in pumi Ubzi rcrum omnium bi 
uifione monltrauimus . ^pfarttm 
quocp muficarum confonantiaruj 
quae fpmpbonias nominatpzopo: 
tiones :inbacpenefola mebietate 
frequenter inuenias ♦ Tlanque fpm 
pbonia biatefleron:qu£ pzincepe e 
z quobammobo rim obtinens dc 
mentirconftituit fcilicet in epitritaj? 
po:tione:ut eft quaternariua ab ter 
nariumiin eiufmobi armonicfe me 
bietaxibus inuemf-Sintenimeiuf' 
moMarmonicc mebietatte texmv 
ni quozuj ejtrtimi bupli fint:T rurfus 
alia huiufmobi bifpofitio quom eje 
timitripli. 



3 



0£nariU8igitur abternarium 
buplue efUbe* aut in alia bif> 
pofitione fenarius ab binarium tri/ 
plua/fcozumigitfibifferentias col 
ligamua x ab fe inuicem compare/ 
muerepitrita p:opo:rio coUigitur: 
rnbebiatefferon fpmpbonia refo/ 
nabit.3f nter tree enim x*tf -ternari' 
eftrr inter binariutfenarium qua/ 
temariue.quifibimetcoparati fep 
quiterciam efficient p*opo*tionem. 



bififerctia 



rn 

4| 



fciaterfieronf- I fefgterciu 



/ bifferctia 



L 



ITleabequocp mebietate z&ia 
pentefpmpboniacomponitur : 
quaferqualterababimbo reftitttit. 
Tlam in vtri fque bifpofitionib' bis 
quf fubiectf [funtrin buplici fenariuf 
ab quaternariu fefqualter ell: in tri 
pliciternariua ab binariurejequib* 

wifquebiapentefympbonia con/ 
iungitur. 

Sefqualtera. 
feiapente. 

i j 1 * 



Sefqualtera. 
fciapente. 
Y)Oft banc mitem biapafon co 
J^fonanfo quf fit eje buplici . ut 
eftfubiectafozmula. 

fcmplejr. 
t>iapafon. 




■ 



I it triplici qttocp bifpofitione fi/ 
mulbiapente-r biapafon fym/ 
pboma coponit: feruans fefqualte/ 
ram z buplicem rationej .quob fub 
iectabefcriptiobocet. 
Sefqualtera* fcuplejr. 
fciapente. £>iapafon. 



fcifferentif. 




[ 



x 



V* 



Xriplejc. 
fciapente? biapafon. 

eX quoniam triplus bttas con 
tinet confonatias biapznte fct 
licet z biapafon:'in W tnplicis po 
fitione in bifferentijseunbesrurfus 
triplumreperiemus fcdmfubterbe 
fcriptummobum. 

Xriplue^biapentct biapafon. 
ibifferentif 



Xermini. 

IUa autc? maxima fy mpbonia 
qujvocatbis biapafon :velut 
bis buptum:quonia$ biapafon fym 
pjjonia ejc buplici pzopoztione col/ 
ligitur:btucfeiucturfa:monic? mc 
bictatis interferit . Tlam in buplici 
pzopoztione'mebius terminus ab 
minozis fuics bifferentiaj quabzu/ 
plus inuenif. 
differentia. 



l ? 1 « 



CD 



ED 



Xermmi. 

ITlbuplavero bifpofitione ma 
ioz terminus abmebij termini 
contra fe bifferenti am triplus eft . z 
rurfus minoz termin 0 ab mebij co/ 
traminozejterminucomparati bif 
ferentiamtriplwsdt. 



Xermini. 

ITl triplicibus quocp ejctremita/ 
tibus maioz bifferentia ab mi/ 
noze bifferetia quabzupla etfyt bis 
biapafon ff mpbonia emittit .Tldcn 
in bifpofitione. M ejctremop bif 
feretia eft:ib eft fenarij z binary -4- 
minoz vero biffcrentiaib eft tcrna/ 
rij z binary vrfM-aut vuo quabzu/ 
pla maioz eft relatione:q coparatio 
bis biapafon confonantid tenet. 



fcegeometricaarmonia. £af>-49- 




Ocant autem 
quibas armcv 
nicd buiufmo 
bi mebietatej 
ifceirco quob 
fempcr b?qv 
poztionalitas 
geometric? ar 
- monif cogna 
taeft.armoma aut geometric! cu/ 
bum bicunt. $ta enim eje longitubi 
ne in latitubine biftentus eft z in al 
titubtnis cumulu creuitmt ejt: % qua / 
libus pzoficifcens ab fqttalia perue 
niens:jqualirer totus fibi conucnv 
ens creuerit . t>£c autem mebietas 
in omnibus atbls que eft geometri 
ca armonia perfpicitur. Omnie cni 
cub'babet latera. 1 1 -angulos octo 
fuperficies fejM^ic aute5 o:bo * bif 
poiftio armonica eft . £>ifponantur 
eni$.6.$. i2«bicergoqueabmobu5 
eft maio: terminus ab parutflimu* 
uabifferentiamaioeis z mebi; ab 
paruiflimam coparatur . *£>erpenfi 
nanque. i^abfejtrbuplifunt.biffe/ 
rentiavero. 1 2. r octonarij quater/ 
nanus eft.octonarij rero zfcnarij 
buo.bupla autem ratione biftabut 
buobus quatuoe coparati/Rurfus 
octonari 0 qui mebieta3 eft alia fua 
parte minozem pzf cebit : z alia fua 
parte a maioze pzf cebitur . eabem 
autemparte minozis minoiem fu/ 
perat : qua parte maiozis a maioae 
fuperatur • tturfus ft ejtrtremitates 
mwum rebigan$ur ramebietatc 



octouarto multtpltceutur : buplw 
exit ab eo numero quern fol£ ejetre^ 
mitates multiplicatf perfecerint • 
£>mnes autem in bacbifpofitione 
fjropbonias muficas inuenimus • 
jbiatefleron quibem eft octo ab fejc 
quonia$ pzopoetio fefquitertta eft . 
ilt biapente. i2-ab S.quoniame« 
que fefqualtera comparatio bicitur 
inea biapente confonantia repent 
Jbiapafon vero quf eje buplici nafci 
turejtr» li-abfcjccompofitionepzo/ 
bucimr-jMapafouvero z biapente 
quf triplicis optinent rationed fit 
abejrtremitatu bifferentia abbiflfe 
rentia$ minozem* Tlanque buobe/ 
narij z fenari; fejc bifferentia eft, mi 
no: vero eft bifFerentia octonarij z 
feuarijrib eft- £. qui fen ai ius ab bv 
nariuj triplus eft s z biapafen fimul 
z biapente confonantia fonant. 3fl 
laveromaioz confonantia quf It 
bis biapafonrquf eje quabzuplo fit 
in mebi) termini ib eft octonarij : et 
eius biflferentif comparationeper/ 
fpicitur: qu£ inter octonariti5 fena/ 
riumquereperitur.Ouare p:op*te 
atque<onuenienter buiufmobi p:o 
poztionalifasarmouica mebietas 
appellatur* 



Ouemabmobum conftitutis al/ 
trinfecus buobus terminis raritb^ 
metica? geometrica armonica in/ 
ter eos mebietas alter nef , atque be 
eo?um generauonitws ♦ 



t 4 



Early European Books, Copyright© 201 1 ProQuestLLC. 

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Firenze. 

Magi. A.6.22 




Osautpzefta' 
rebebem 9 qua 
tenusquemab 
mobu batoca 
lamoejrtremis 
fozaminib'ma 
nentibus inufi 
cismoseft ; ut 
^ mebiu fozamc 
permutantesratc&alinb aperientes 
aliubbigitisocclubentes biuerfos 
cmittant fonosXlel cuj buabus al 
trinfecus pzotefis coitus mebij ner 
uifonum muficus v>el aftringenbo 
tcnuat uel remittenbo grauat : ita 
qnoc&batisbuobus numeric nuc 
quibem aritbmeticamuc v>ero geo/ 
metricamuc aut armonica mebieta 
tern ejrperiamur inferere.vt rectum 
pzopnucp mebietatis nomen fir.qd 
manentibus ejrtremitatib'buc atc& 
illuc ferripermutaricg vibeat; t>0" 
terimus autemb^nc in buobus al 
trinfecus pofitis terminis vel pari/ 
bus Tel imparib* permutare : ita ut 
cum aritbmetica poninfmebietate 
ttflferetiaru tarn ratio fquabilitafcg 
feruet/Cu vero geometrtca : rata fe 
jppomonuiuncturacuftobiat. Sin 
autarmonicafiat bifferentiaruto^ 
paratio:ab teiroino^poztione no 
bifcrepet./Et fint quibe pzimo paref 
polity qu£baejctremUates:in£ quaf 
bas omnes mebietatcs oporteat in 
ternectere- io.et-40. turns igititr 
aritbmetica mebietas aptef. jnter 
bosgfi-M-Fofueroteritmibi ari/ 
tbmetica pzopoztio biffercntiarum 
quantity iromtttabiliter cuflobi' 



taan buiufmobi fcilicet bifpqfitio^ 
ne- 10.25. 40 xiibesentm utquin/ 
ben£ fefe fummul? quantitate tran 
fcenbat, iDmnefq^pzietates quas 
fup bijeim* 1 mebietate aritbmetica 
couenire:ab bacbuiufmobi bifrofi 
tione uon reperies alienas/uaque 
queabmobuvnufquifcp eoy, termi 
nus ab feipfuj eft:quonia abi £qua 
lis eft.ita flint ab fe imxiccm biflfere 
ti?:qinfibifunt fquales. z quanto 
maioz terminus mebiu tranfit:tan/ 
tomebius vincit minoze* £t ejrtre/ 
mitatuaggregatiobuplejcc mebie 
tate . z minoy terminop pzopoztio 
maioz e ilia coparatide quf ini ma 
io:es terminos cotinet. £t tato mi/ 
noz eft numerus qui fit cx multipli/ 
catis ejctremitatibuf ab eo qui fit c% 
multiplicata mebietate:quatueozu 
bifferentif multiplicate reftituunt • 
3$llub quocp quob mebietas eabej 
fui parte z a maioze vincitur z minp 
remipfafuperuenit.noneabem au 
tern parte minozis minozem tran/ 
fit .velmaiozis a maioze relinqui/ 
tur.quf omnes fcilicet pzopzietates 
non alterius nifi aritbmetice mebi 
etatis f unt.0uob fi fuperius bicta 
meminerit lectoz-.ita efle inbubitan 
terintelliget. Hurfus fiintereofbe 
io.et.4<^viginti conftituamrftatim 
gcometrica mebietas cumfuis pzo 
pzietatibus cunctis ejeorit : aritbme 
ca mebietate pereunte* j?n Ijac enis 
bifpofttione* 10. 10.40. queabmo/ 
bu eft maioz ab mebium: fic mebi 0 
abctfremu. Jet quob cotinet ab eje 
tremitotibus cquum eft ei quob a 



muttipiici mebietate compfetur • 
jMflfcrennc quo^eo:: in eabe ftmt 
,ppoztione q termini. Jcremetutfo et 
immutio<ppoztionu fcdm terminos 
nulla eftfeb maiojz terminop jppoi 
tio a minop termino? ,ppozti6e no 
bifcrepat.Sitf o armonica mebieta 
te oiugere veli nv i c> .mibi numerus 
inter eytremitatesvtraf(& poncbus 
eltutfitbocmobo. 10. itf.40 -Tluc 
igit licet in buiufmobi bifpofitione 
oes armonicas,ppzietates agnofee 
re.quaenima.nmn3 abparutflimu 
termiiV^poztione oiungif: cabcp/ 
poztioe bifferentie ab feinuice copa 
rant ,£t quib 9 partib 9 maiozis a ma 
ioze mebius vtncir : eifbe partib 9 mi 
nozts pzetertt minoze.Suis v ; o non 
eifbe rel a maioze vindt : vel tranfit 
minoze.£t i maiozib 9 terminis ma^ 
ioz eftppoztiori minozib 9 minoz.£t 
fi i vnu ejctremitates rebigan t ret me 
bietatisquatitateocrefcat : buplus 
inbe oficif Humerus ab eo qui ejc fo 
•lis multiplicatis cjctremuatib^cre 
atur.ittq; bocquibe in tenninis pa 
ribus sftitutu e. Mt vero fi impares 
jpponant vt funt- *et45 -aptatus me 
bius. 1 5-aricbmeticapponione me 
bietatecp oftituit/ttamfi fint. 
4 f -eabe fefe numerop quatitate ter 
mini trafgrebient x omnis fuperius 
fcicta^ppuetas arithmetics mebieta 
tis in \)\t terminis cuftobif . Seb fi 
if.nHerumebiuponavtfint.^ *$• 
4 y. in geometrica mebietate termi/ 
nirelabunturrfqualibus termino^ 
rumabfeinuicem pzopomonibus 
cuftobitis. Tlouc vero fi inter t trof 
que terminos pona : vt fine- 5-9*4 



fit armonica mebietas.w qua fum 
ma majrimus numerus paruiffimu 
pz?cebit : eabem maioz biflferentia 
minozem bifferentiam vincat .0ua 
vero bifciplina buiufmobi mebieta 
tesreperirepoffimus ejrpebienbus 
eft.fcatis buobus terminis :fi aritb 
metica mebietatem coftituere opoz 
tcbitrvtracpeftejttremitas coniurt/ 
genba.quobqueejrea copularione 
coUtgimrbiuibenbutifcp numerus 
qui e% biuifione rebactue eft aritb' 
meticam mebietatem inter cjrtremt 
tates locatus efficietvt- 10.ct.40- fl 
iunjcero: efficiunt. 5° • quos fi biui' 
bam.i f.rebbuntur.lMcerit mebi' 
us terminus fc6m aritbmerica pzo/ 
poztionem . del fi ilium numeriun 
qttomaioz minozem fuperat biui/ 
basreumcg minozi fuperponas: q& 
que inbe concrefcit mebium ponas 
aritbmerica mebietas infozmatur ♦ 
tlam-4o.benarium tricenario fupe 
rat.quem fi biuibas. 1 f.fumt.bunc 
fi minozi ib eft benario fuperpofue/ 
ris- 1 °* et- 5 .nafcentur.que fi mebi/ 
umconftituasraritbmeticf mebie/ 
tatis ozbo fozmatitf\6eometricam 
vero fi rationemveftiges :eius mv 
meriqui fubvtrifcp ejttremitatibus 
continetur tetragonicumlatus in' 
quirerr tyxnc medium pone . Tlam 
fub-4o.T benario numero-4oo. co/ 
tinentur-Sienimbenarium in*4<>* 
mlttplices:bic numerus ertfeit. t>o 
mm igimr quabzingentozttm requi 
retetragonicum lams, bi flint ^o* 
Wicks enim . 2 o . 400. efficiuntur • 
*Repertum ergo latus quabzatum 
mebius conftitues. Liel fi earn pio r 



poztionem qua inter fe bati termini 
cuftobiunt biuibasrr ib quob rclin 
quetur mebiu terminu ponas /Han 
que-4o.at> benarium quabzuplus 
eft.^giturquabzuplum ftbiuibas 
buplum facies :'qui eftfcilicet. *o. 
Tlam- io.ab benarium buplus eft, 
Isunc ft me&iu conftimas :mcbieta 
tern geometries perferet . #rinoni' 
camvero mebietate talimobo re/ 
peries.bifferentiam terminozuj in 
minozem terminu multiplied.? poll 
iunge terminos/t iujeta eum qui in/ 
fceconfecwe eft: comitte ilium nu/ 
merum qui eje bifferentijs et termu 
no minoze pzobuctus eft. £uius cu 
latitubineinueneris: abbas eami/ 
nozi termino. et quob inbe colligit 
mebiu terminu pones. 10.emet.40* 
fiuntfe. differentia aute inter- 10. 
ct.40. 3 o.funt.que ft multiplicas in 
&euariu:ib eft in minoze :becies«3 0i 
opoztet. 300. efficies . Quos • 3°°- 
iujeta eu comitte qui eje iuctis vtrifcp 
confectus eft:ib eft iujeta. * o.facient 
enim quinquagies fenos. x inuenit 
latitubo fenariuf. t>uc igit ft minozi 
tmino abbas facict- 1 * . x ft numer 0 
mebi'Conftitut 9 int* io*et-4c*armo/ 
nica ^poztionemebietatecg fuabit. 

£>e trib° mebietatib 0 q armonic? 
x ge ometric^ otra rig fur. £ap-5«- 

£ qutbcjfunt 
apub antiqui/ 
ozes inuentf 
pzobatfcp me 
bietatcf.quas 
ibcircolongi/ 
us enobatiuf/ 
cptraaauim 9 : 




quob b? majrime in antiquozum.te 
ctionibusinueniuntur.zab omne 
pene vim cognitionis eotu verfatur 
vtilitasXfterasaute pz^tereunbo 
trafcurrimus:ibcircoquob nomul 
turn nobis in lectionibus pzofunt. 
feb tantum ab implenbam benarij 
numeri quantitutem.Duf ne lateat 
ne ve ftnt aliquibus ignozatf bepzo 
mimttsXIibenturenimb? fupzabt 
ctismebietatibusefle contrarif ej: 
quibus ozigine trabunt. £jt bis eni 
etiam iftf funt conftitut?. £ft aute* 
quarta mebietas qu?oppofita vi/ 
betur armonicf : in qua tribus ter/ 
minis pofitis: queabmobueft ma/ 
jcimus terminus ab paruiflimu : fic 
bifferentia minozu ab bifferentiam 
majcimozu.at funt- 3 • 5 6 ab ter 
narium buplus. £ t funt minozef s ♦ 
et • 3 -majcimi vero buius bifp ofttio / 
nis.tf-et.f * differentia vero mino/ 
rum quinarij fcilicet x ternarij.i-fut 
maiozuquinarijetfenari^ i qni-i* 
ab tnu comparati bupium factum. 
£rgo queabmobu eft majrimus ter 
minus ab paruilfimu fic minozu ter 
minozum bifferentia eft ab biffere/ 
tiam majrimozu. Xiquet aute oppo 
fitamtquobamobocontraria efle 
banc mebietate? armonice mebie/ 
tati:ibcirco:quob in ilia queabmo/ 
bum eft majcimus terminus ab par 
uiflimu:fic maiozumterminozu bif 
ferentia ab bifferentia minozu/fric 
autemecontrario.£ftautem pzo/ 
pziubuiusmcbietatt.quonia quo& 
contineturfub mapimotermino et 
mebio:buplum efteo quob con tine 
tur fub mebio atcp paruilfimo.Sc/ 



ries cnl quirup. ? o.funt: quinquies 
verotres- i j.£meveroali£ mebie/ 
tates quinta fcilicet z fejta geome/ 
trie? mebietati contrary funt : z ev> 
bem vibenturoppofit? . £ft autem 
quinta mebietas s quotiene in ttv 
bus terminis qucabmobueft me/ 
bins termin' at) minoze; terminu : 
ita eozu bifferentia ab bifferentiam 
mebij atcg maiozis, Tlam in bac bi 
fpofitionc.2*4.f . quaternarius ab 
binariu buplus eft* feb inter qtiater 
nariut binariu buo funt.inter qua/ 
ternariuveroetmaiozem terminu* 
ib ell quincp. i -r buo ab vnu bupli 
funt* £ontrariu autem geometric? 
mebietati in bac pzopoztioeeft:q& 
in ilia queabmobu maioz terminnf 
ab minoze eflet :fic maiozu bifferen 
tia ab biflferentia minozum. \)ic ve/ 
ro contrarierquemabmobu mino/ 
res ab fe termini funt : fie minozum 
bifferaitiaterminozu abmaiozum 
bifferentia comparatur. £ft autem 
pzopziu in bac quoque bifpofitione 
quob illub quob cotinemr fub ma/ 
iozeterminotmebietate buplu eft 
eo quob fub rtrifcp etfremitatibus 
con tinctur. Tlam quinquies quatu 
oz funt • io. quinquies vero .2. funt 
lo.eMo.benarij buplus eft.Sejrta 
vero mebietas eft quabotribus ter 
minis conftitutis queabmobu$ eft 
maioz terminus ab mebiurfic mino 
ru terminozu bifferentia ab biffere/ 
tia majcimozu. 5 n bifpofitione enij 
quf eft* 1.4 -tf-majcimus terminus 
ab mebium fefqualter eft. bifferen/ 
tia vero minozum ib eft vnins et-4* 



ternaritts eft : maiozum tfero ib eft 
quaternary z (mm) binarius. £er 
narius autem binario comparatus 
fefqualterababitubinem pzopozti/ 
onis efficiet . £obem autem mobo 
b?e quoque mebietas geometric? 
contrariaeft quemabmobutquin 
ta:p:opter pzopoztionem bifferen/ 
tiaruj a minozibus ab maiozes ter/ 
minosconuerfam. 

£>e quatuoz mebietati 
bus quas pofteri ab im 
plenbubenariu limitej 
abiecerunt. ZTap.p. 



X b? qutbeffit 
fejc mebietates 
quarum tres a 
Pftbagoza vfcp 
ab: latone5 ari 
ftotelemcp ma/ 
ferunt.^oftre 
ro qui infecutifunt has tres alias 
be qnibus fupza bifleruimus fuis 
commentaries abbibcre.Sequens 
autem ?tas quemabmobubijeimuf 
ab implenbam benariam quanti/ 
tatc* alias quatuoz mebietates ap/ 
pofuit.quas non abeo quis in vete/ 
rumlibzis inueniat/baf igiturnos 
quapoffumusbzeuiflime bifpona/ 
mus.*p>zimaenim qu?eft earum: 
in orbine vero fepttma mebietas 
boc mobo coniungitur: cum in tt i/ 
bus termims quemabmobum eft 
majcimus terminus ab vlumuro: 




fic marimi z paruiffiiTii termini t>if^ 
(crania ab mino? biflferentiam ter 
minozum. vt in bac bifpofttione-tf- 
s.9.11ouenariii6 igttur ab fenariuj 
fefqualter eft. quotum eft biflfereiy 
tiaternarius.*Dinozuv»ero termy 
nozumtib eft octonarij z fenarij bi/ 
nariusbifferentiaeft.quiab fnpe/ 
riozem ternarium coparatus facit 
fefqualterampzopoztionem .©ecu 
bavero inter quatuoz:feb octaua 
in ozbine pzopoztionalitas eft: quo 
tiene in tribus terminis queabmo/ 
bum funt ejrtremitates ab fe wuice 
coparat? : fteeozum bifferentia ab 
maiozum terminozu biflferentiam* 
vtfunt.^-7.9*Tlouemigitur ab ^ 
fefqualter eft. eteozum biffcrentia 
ternariuseft quicomparatus con/ 
tra matozum bifferentiamrib eft fe^ 
ptenarij ct nouenarij qui binarius 
eft:rebbit fefqualteram pzopo:tio/ 
nemXertia vero inter bas fequen/ 
tes quatuoz: nona autem in ozbine 
pzopo:tioeft:quanbotribus termi 
nis pofitis quam pzopoztionem me 
btus terminus ab paruiltimu cufto 
bit:eamretinet ejrtremozum biffe/ 
rentiaab minozum bifferentiamco 
parata. vt-4-^-7 . j£tenim<s- ab-4* 
fefquattereft.quozumeft bifferen/ 
tia binarius. feptenarttferoz qua^ 
ternarij teruarius bifferetia eft.que 
fi ab fuperiozembinarium compik 
remus fefqualtera pzopoitione con 
iungitur.Ouartavero qufinozbi/ 
ne becima eft cofiberatur in tribus 
terminisreum tali pzopoztione me/ 
bius terminus ab parniflimu com/ 



paratur:qnalie]Ctremozum biffere/ 
tia contra maiozum termmozu bit / 
ferentiam pzopztione coniungitur. 
vt funt tree quiiup octo. Quinarius 
enimmebiue terminus ab ternary 
um fuperbipartiens eft . Bpremc m 
rumrero bifferentia octonarij foli* 
cet z ternary quinarius.qui copara 
tus contra maiozum terminozum 
bifferentiam fcilicet quinarfj % octo 
narij qui eft ternarius: z ipfe quocg 
fuperbipartiena inuenttur. 

fcifpofitio becemmebi> 
etatum. £af)-n« 




gfponamus 
igiturcunctas 
mebietates in 
ozbinemittctt 
iufmobi om / 
nes fint facil/ 
lime poflint in 
telligi. 



2lritbmetica if>zima 


i 


z 


III 


6eometrica [Scda 


i 




Ltl 


Srmonica IXertia 




4 


\±\ 


5riaarmonicc iQuarta 




S 


1*1 


oriageome. IQutnra 


% 


4 


'* \ 


Sriageome. ISejcta 


i 


4 


i*i 


inter-4-pzima ' r ©eptima|<5 


\s 


j?| 


mFer*4fc6a lOctaual* 




1*1 


inter4tertia ITlona 


!4 


\* 


1*1 


inter. 4-quarta lacrimal ? 


■f 


l»l 



fc>e majcima z gfecta f? mpbo/ 
nia que tritws biftenbifin/ 
tcruallis. £ap'f4« 




£ftat ergo be 
maxima pfecta 
qjarmomabif' 
ferere-.qtrib 9 in 
teruallis oftitu 
tamagna> vim 
obtiuet ininuft 
cimobulaminif 



teperameustzfm'fpeculatioe mnv 
raliuqfhonu.£teniBfecti 9 buiufmo 
fci mebietatenibilpoterit inucniri: 
q trib°itertmlU8 pbuctaefectiflimi 
cozpozis natura fubftatiace foztit* e 
Tdoc eni tnobo cubu quocg trina bi 
mefionecraffatu.plena armonia ee 
moftrauinV\t>£c aut buiufmobi in 
venietrft buob'tenninis oftitutie: q 
ipfi trib 9 creuerint interuallisilogitu 
bine:latitubine:et pfunbitate: buo 
buiufmobi termini' mebii fuerint co 
ftimti:? ipli trib 9 interuallts notati: 
g vel ab £qualib 9 e £ qtes £ qliter fine 
,pbucti:velab in£qualib 9 ab infqlia 
fqualitenvtab ingqualib' ab £qua 
liagqliter vel quolibetalio tnobo. 
atcpitacuarmonicappoztione civ 
ftobiat: alio tn mobo coparati faci ; 
ant aritbmetica mebietate : btfcfe ge 
ometrica mebietas q int vtrafcg vcr 
fat beetle no poflit. 3fo quatuo: em 
terminis li fiierit queabmobu pm 9 
ab tertiurfic fedfaue ab qrtutppozti 
Onuratioe fcflicet cuftobita: geome 
trica mebietas ejrplicat. £t qd coti/ 
net fub ejctremitatib 9 £quu erit ei q6 
fub vtracp mebietate ab feinuicqn 
multiplicata oficit.Hurfus ft majri' 
mus qtuo: terminop numer* ab cfi 
g fibi,ppinqu 9 eft tale babeat &ifFe- 
remia quale ibeipfe majrtmo p*o/ 



pinquus ab paroiflimu: buiufmobi 
jjpoztip in aritbinetica ofiberatioc 
4 pponif.£tejctremo^comunctio bit 
plejcerit^pzia mebietate, Qi jo inl 
qtuo: quieftterti 9 termin 9 gqua par 
te qrti quartu termini fuperet: z cq 
pzimi a pzimo fuperef:annonica bu 
iufmobi^ppouio mebietafcp efpicit. 
£t qd otiuet fub ejttremop aggrega 
tione z multipltcatioe medietas bu 
plejceft eo qd fub vtracp ejetremitate 
oficit . Sit autem quobba bui 9 bif/ 
pofuiois exemplar bocmobo 
9- * i-t>as igit oes folibas quatita > 
tea efle no bubifi e.Sejc eni nafcunt 
ex vno bis ter- 1 2 . aut ep bis buo ter 
130? aut£ mebietaies:octonari 9 fit 
femel buo cjter .Tloucnan 9 vo femel 
tres ter.Oes igit termini cognati fi/ 
bi:r trib 9 interualio£ bimefionibns 
notati fut, 3fn bis igit geomctrica p 
poztionjlitasimtemtifi. u-ab^-vf 
9-ab fenariu coparem 9 . Utracp eni 
coparatiofefqualtera jjpoztio eft.z 
qdstinetfub e^trcmitatib 9 ibee ei 
qd fit eje mebije.Tlacg q6 fit eje buo 
becies fe^xquii eft ei qd fit c% octief 
9* 6eometfica ergo v ppouio buiuf/ 
inobi eft.^ritbuietica aut eft fi buo 
benarius ab nouenariu: z uouena^ 
rius a& fenariu coparet . 3n vtrifq^ 
eni ternari 9 bifferetia eft.z iuncte er 
tremitates mebietare buplf lut .Si 
eni iunjreric fenariu z buobecim: fa 
cies- lS.quienouenariomebioter/ 
mino buplus. 3u bi 6 ergogeomc' 
trica aritbmeticacp mebietatc gfpc > 
jirim 9 . t>icciuocp armomcarnebie/ 
taoinuenif:fi. »2«ab.S.ctrurfus.S. 
ab fenariu coparem 9 . Qua eni par/ 



te fenarij octonari 0 fenariu fuperat: 
ib eft parte tercia:eabe btiobenari) 
parte octonarius fupcr at . Quatuo* 
eni qbw ocionariua a buobenario 
vincit rbuobenarij tercia e . £ t fi 
crtremitatesiugae.^fcj?- u-cafcp 
goctonariumebiumttipUcee. i44- 
fut.Qdfifeejctremitatee mttiplicet: 
fejcfcjet- i2.faciet.7i. quo numero 
i44.buptuseft, 5uueniemu8 lyic 
qrocg oesmuficas confonantias. 
TlancB.$*ab.tf*et-9*ab* r-copara> 
ti fefquitertia.ppoitiont rebbut: t fi 
mal biaiefleron ofonantia. Sejc o 
ab.^.vel.S.ab. u-coparati rebbut 
fefqualtera < ppoztione:fe& by apente 
fymj^onia.£>uobecimtfo ab fena/ 
riu ofibera ti biiplicejspoztione: feb 
by apafon fy mpbonia canunt.Octo 
tfo t»9ipfi otra fe mebi) confiberati 
epocbouiungut.g in mufico mobu 
lamine tonos vocat .qu£ oiuj mufi/ 
comfonommenfura comunis eft. 
Oroniuemeft (onus ifte partiiifim" 
anbenotu eltqd biatefleron z bit 
pente sfonantiaru tonos bifferetia 
^ft:ficut inter fefquitercia t fefqual/ 
teza ppomone fola e epocboua bif 
ferentia.JEins aut befcriptidi* fob / 
ter exemplar abieciirow. 



•jMopouionalitae geoinetrica, 
Sefquaiterjypoitiones. 




etfremop mcWo?<B mttiplicatioes 
TMopo*tionalitaa aritbmetica* 



i3 



f nrcmitatcsiunctc a&nouen*ria 
me&iumlwpl£fimt. 



*£zcpoitiondlittd *rmonict« 
partes minozis maiojiftg fminop* 

i 4 




144 

3ftmct£ ejrtremitate* r per 
mebiumultipUcatf . 



f triit aritbmerfca Soerij bencre 
Ufa acfifceli ftubio cmen&ata 5m 
pzeflfa per £rbar&urat&oltviri fo/ 
lertifiimiejriiniaibultriat mira tm/ 
pnmetn arte:quanug venetijs nuc 
atigufteejccellet nominatiflimue. 
2tnno fcni .ID.cccc.trrjcviij.fDeiv 
fiemaubievigefima. 



a b c t> e f omneequaterni. 



jConfonamiftmificf, 

0eJjtertia Sefgtercia 

£pocbous 
fciatefleron £>tateflero 




£>upla. 
fciapafon* 




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Firenze. 

Magi. A.6.22